1tom - 0232.htm
307
го возмущения, имевшего место в начале координат в ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО ≈ модуль волнового вектора', оп-
момент £≈ 0, возбуждает волны, уходящие (бегущие, ределяет пространственный период волны (длину волны
распространяющиеся) от источника. В одномерном Я) в направлении е╦ распространения: k≈2л/Я=ш/Уф
случае их величина постоянна, в двумерном и тр╦хмер- (где со ≈ круговая частота, УФ ≈ фазовая скорость
ном ≈ она монотонно убывает с удалением от центра, волны). В оптике и спектроскопии В. ч. часто наз.
Для двумерного пространства характерно возникнове- величину, обратную длине волны, k=l!k.
ние бесконечно длящегося последействия, благодаря ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР ≈ вектор ut определяющий на-
к-рому отклик не повторяет ф-цию источника. правление распространения и пространственный пе-
Обычно для В. у. рассматривают Коши задачу, опи- риод плоской монохроматпч. волны
сывающую распространение волн в «.-мерном прост- , * _ , ,, ^
ранстве. Классич. решением задачи Коши наа. непре- и' ' '~~ ° s^ ≈0> ~|~СР|)^'
РЫВНО дифференцируемую ф-цию ty(r, i), удовлетво- где Д0, фя ≈ постоянные амплитуда и фаза волны,
ряющую В. у. в полупространстве t > 0 и нач. условиям со ≈ круговая частота, Г ≈ радиус-вектор.
гр[|1а ≈ ф! (г), d$Jdt\\t=:Q = Фг (*")> гДе Ф1 (г) и Ф2 (г)≈ Модуль В. в. наз. волновым числом fc=
заданные ф-ции. Классич. решение да╦тся Кирхгофа =2л/Х, где Я ≈ пространственный период или длина
формулой (л^г-3), Пуассона формулой (я^2) или волны. В направлении В. в. происходит наибыстрейшее
Д'Аламбера формулой (и = 1). Рассматривают также изменение фазы волны ф=А;г ≈ (о(+ф0т т. е. А;= уф>
смешанную задачу, описывающую колебания ограни- поэтому оно к принимается за направление распростра-
ченного объема V. нения. Скорость перемещения фазы в этом направле-
Имеется много приближ╦нных методов решения В. у. нии, или фазовая скорость Гф, определяется через вол-
В т. н. КВ-асимптотике (&->оо) рассматривают пара- новое число ;,'ф=о>/йг При классич. описании волновых
болического уравнения приближение, к-рое позволяет процессов с В. в. связана плотность импульса wk/at,
анализировать свойства волновых пучков и волновых где w ≈ плотность энергии В квантовом пределе со-
пакетов, т, е. волновых образований, локализованных в ответственно импульс p=Tik, Направление переноса
пространстве и во времени, и геометрической оптики энергии волной, вообще говоря, может и не совпадать
метод. с направлением В. в., как это имеет место, напр., в
В системах с дисперсией волн возникает искажение анизотропных средах или даже в изотропных средах с
профиля волны, обусловленное зависимостью скорости аномальной дисперсией, где возможен перенос энергии в
распространения е╦ разл. участков от их крутизны, и направлении, противоположном В. в.
решение в виде (2) становится невозможным. Если такую Понятие о В. в, может быть обобщено на случай
волну представить в виде суперпозиции синусоидаль- квазигармонич. волн вида u(r, t)=A (r, £)cos^(r, Z),
яьгх мод типа (7), то дисперсия проявляется как зависи- если ввести локальный В. в. k (г, t}= уф н мгновенную
мость фазовых скоростей с этих мод от частоты. Тогда частоту fc>(r, t) = dty/dt. Однако, однозначная интерпре-
соотношение о)2=А:2с2 следует рассматривать как дис- тация этих величин допустима только при выполнении
персионное уравнение, заменяющее исходное В. у. (1) и неравенств:
внек-ром смысле обладающее даже большей общностью, _*_ &А ^ |. 1_ | «.д |<£ 1-
поскольку уч╦т зависимости c=c{to) можно провести <аА dt ^ ' kA * ' - '
только в рамках ур-ния Гельмгольца, т. е. после вве- j д(д 1 t ад.
дения синусоидальной зависимости от времени. По -^г "57"^ ^* ToJfc" I V*P I <^ 1? ^;й ~а7~^ ^
виду дисперсионного ур-ния (в частности, если оно l I J
представляется полиномами конечных степеней по со и где /с/ ≈ декартовы составляющие В. в. (i, j=i, 2, 3).
k} можно восстановить вид исходного дифференц. ур-ния, Эти условия устанавливают применимость лучевого
описывающего данный класс волн (ik-ь-^д/дг, to>≈*∙ описания волновых процессов (приближения геомет-
-*-didt); эти ур-ния могут существенно отличаться от рической оптики и геометрической акустики, квази-'
стандартного ур-ния (1). Наиб, важной и наглядной классич. приближения).
иллюстрацией являются волны на поверхности жид- Для эл.-магн. гармонической волны (в вакууме)
кости. Напр., длинным (по сравнению с глубиной В. в. k и величина /е0=(о/е (с ≈ скорость света) объеди-
бассейна) волнам при небольших амплитудах соответст- няются в единый волновой четыр╦хвектор, компоненты
вует дисперсионное ур-ние вида (о≈ck ≈ р£3, по к-рому к-рого подчиняются при переходе от одной инерииаль-
легко восстанавливается исходное дифференц, ур-ние ной системы отсч╦та к другой (движущейся с относи?.
tyt=≈ctyx≈fityxxx- ^то т- н- линеаризованное Кортеве- скоростью и) Лоренца преобразованием:
га≈де Фриса уравнение, один из возможных вариантов , ю-л-я
обобщения ур-ния (3) на системы с дисперсией. fc0c = со' = ≈±^-1
Нелинейные В. у. При перечислении нелинейных ' ~?* С
обобщений В, yf необходимо проявлять нек-рую сдер- fc'_ ≈1~ю"-с .
жанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь ^ 1- м*/с*
с исходным В. у, В этом смысле единственным термине- Первое из этих соотношений определяет Доплера эф-
логически точным обобщением является внесение зави- фект, второе ≈ эффект аберрации углов прихода волн
симости скорости с от волновой ф-ции в ур-ния (1), (или формируемых ими лучей).
(3) или (8). Однако часто к нелинейным В. у. относят м. А. Миллер, Г. в. Пермитин.
любые ур-ния,- вырождающиеся в линейные В. у. при ВОЛНОВОЙ КОЛЛАПС ≈ явление самопроизвольной
устранении нелинейности или линеаризации. Наиб, концентрации (обычно с последующей диссипацией)
известны нелинейное ур-ние Клейна≈Гордона Оф= волновой энергии в малой области пространства. Может
У, обобщающее линейное Клейна≈Гордона иметь место при распространении разл. типов волн в
и нелинейное ур-ние Гельмгольца Д-Ф+ средах с достаточно высоким уровнем нелинейности.
^(Ж2)1^ учитывающее зависимость волнового Часто происходит взрывным образом (за конечное
числа от квадрата волновой ф-ции. время). Примером В, к. является образование в резуль-
Нелинейные В. у. позволяют описать взаимодейст- тате эффекта самофокусировки света точечных фокусов,
вне волн (в т. ч. и квазимонохроматических), возникнове- сопровождающих распространение интенсивных ла-
ние и эволюцию ударных волн и солитонов, самофоку- зерных импульсов в прозрачном диэлектрике, открытое
сировку и самоканализацию и т, д. в 1965. В 1972 теоретически предсказан коллапс ленг-
Лит.; МорсФ., ФешбахГ., Методы теоретической мюровских волн в плазме, обнаруженный затем экспе-
физики, пер. с англ., т. 1≈2, м., 1958≈60; в л а д и м и- риментально. Впоследствии были теоретически изу-
ров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., цРПтТ тттгттят-т,! иптттт ляятг типои н плялмй Гчл -мягн
?Ш: у из ем Дж.. Линейные и нелинейные волны, пер. чены коллапсы волн разл. типов в плазме ^эл, магн.,
с англ., м,, 1977? м.А.Миллер, Е.И.Якубович, геликонных), а также коллапс звуковых волн и др.
О
ю
О
")
}
