1tom - 0231.htm
о о
здесь ц и е ≈относительные магн. и электрич. проницаемости сред.
Поток энергии, переносимой бегущей волной в линии без потерь, выражается через В. с. так же, как мощность, выделяемая в сопротивлении цепи с сосредоточенными параметрами: Р^Въ \\ 112/2= | V |2/2йв- Т.о., В. с. играет роль внутр. сопротивления линии передачи. Если линию передачи подсоединить к импедансу ZH (про такую линию говорят, что она нагружена на импеданс ZH)* T° коэф. отражения по мощности равен
| Г |2 = -^≈D^- t где Г ≈отношение амплитуд отраж╦нной и падающей волн. Полное согласование (Г ≈0) достигается при ZH=/?B, что в системах с сосредоточенными параметрами эквивалентно равенству внутр. сопротивления источника R& импедансу нагрузки ZH-Понятие В. с, переносят и на произвольное распределение волновых полей любой природы, в т. ч. и на отношение их амплитуд в бегущих волнах сложной структуры. Напр., в электродинамике это отношение напря-ж╦нностей электрич. и магн. полей, в акустике ≈ отношение давления к скорости частиц среды и т. д. При этом равноправно используют также термин поверхностный (полевой) импеданс, м. А. Миллер, ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ≈ линейное однородное ур-ние в частных производных гиперболич. типа:
= о, (1)
нейные среды) или от частоты ы е╦ изменения во времени, c~zdztyi'dtz≈м|эа>в/е2(со) (диспергирующие среды).
В. у. является одной из наиб, употребит, матем. моделей в физике. Оно описывает почти все разновид* ности малых колебаний в распредел╦нных механич. сис« темах (продольные звуковые колебания в газе, жидкости, тв╦рдом теле; поперечные колебания в струнах и т. п.). Ему удовлетворяют компоненты эл.-магн. векторов и потенциалов, и, следовательно, мн. эл.-магн. явления (от квазистатики до оптики) в той или иной мере объясняются свойствами его решений,
Инвариантные преобразования. Ур-ние (1) инвариантно (т. е. сохраняет свою структуру) относительно I линейных преобразований координат и времени, объедин╦нных в Ю-параметрическую Пуанкаре группу (3 вращения вокруг пространственных осей, 3 равномерных движения вдоль них, объединяемые в Лоренца преобразования^ а также 4 смещения начала координат и времени). В 1910 Г. Бейтмен (Н. Bateman) показал, К что В. у, инвариантно относительно 15-параметрич. конформной группы, содержащей в качестве подгруппы группу Пуанкаре. Из др. инвариантны! преобразований следует выделить:
≈ время, с ≈ пост, параметр, имеющий размерность скорости, П ≈ Д'Аламбера оператор, Д=у2≈ Лапласа оператор. Иногда вместо Q в (1) используют оператор Лоренца с2Д≈d*/dtz. Векторное В. у. предусматривает применение оператора О к каждой из декартовых компонент вектора; при переходе к произвольным координатам используют тождество Д≈vdiv≈rot rot.
Первоначально В. у. получено в одномерном варианте применительно к описанию движения упругой струны практически одновременно Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д'Аламбером (J . d'Alembert) и Л. Эйлером (L. Euler) в 40-е гг. 18 в. Бернулли выразил его решение через тригонометрич. ряды, Д'Аламбер и Эйлер записали общее решение в виде двух перемещающихся в пространстве со скоростью с возмущений (волн):
что и дало основание назвать ур-ние (1) волновым. Эквивалентность тригонометрич. представления решения В. у. функциональной записи (2) доказана Ж. Фурье (J . Fourier) в 1824.
Впоследствии понятие волнового возмущения претерпело значит, изменения (см. Волны), поэтому (1) нельзя считать универсальным и единственным В. у.; оно охватывает отнюдь не все виды движений, квалифицируемых сейчас как волновые. Иногда, напр., термин «уравнение волны» применяется к упрощ╦нному уравнению 1-го порядка
А-1- ∙ f\\ t.
(3)
дх
, « Pip ± с dt ~
описывающему волну (.моду), распространяющуюся только в одном направлении. Ур-ние (3) можно интерпретировать как закон сохранения величины А|)Т поэтому его иногда наз. «кинематическим», в отличие от «динамического» ур-ния 2-го порядка или от системы двух ур-ний 1-го порядка (см., напр., Телеграфные уравнения).
Ур-ния (1) и (3) порождают достаточно разветвл╦нное семейство ур-ний, также причисляемых по совр. терминологии к категории волновых. Простейшим обобщениемт сохраняющим внеш. облик ур-ния (1), является введение в него зависимости скорости с от _._ координат, с≈с(г) (неоднородные среды), от времени 31 i (параметрические среды), от самой ф-ции г|? (квазили-
где /i и /2 ≈ произвольные ф-ции своих аргументов: |≈x-\\-ct, т] ≈х≈ct. Прямые £=const, r| = const наз, характеристиками; в этих координатах одномерное В.у. (1) факторизуется (d*/dxz≈с ~ 2<?2/d£2)ip=d2i{}/d£ch)=G. Следовательно, преобразование (4) означает, что любая ф-ция характеристики сама является характеристикой. Разделение переменных. Ур-ние (1) всегда допускает разделение переменных, т, е. факторизацию решения по координатам и времени г|? (г, t) = и (г) v (i), при этом
о*с-2и = 0, (5)
? .* ^ 9 .. Л /IM
fo>V = 0, (6)
т. е. для ф-ции v (t) получается ур-ние осциллятора (6), а для и (г)≈ тр╦хмерное Гелъмголъца уравнение^ в двумерном случае его называют также ур-нием мембраны, а в одномерном ≈ ур-нием осциллятора (но уже пространственного, а не временного).
В декартовых координатах В. у. (1) можно свести к набору четыр╦х ур-ний осцилляторов: тр╦х пространственных фд-д. -(- fcjtp = 0 и одного временного (6). Постоянные разделения kx, ky, kz можно интерпретировать как компоненты нек-рого вектора fc, наз. волновым вектором, поскольку плоская волна вида
i|? ≈ exp {i<at ± Her) (7)
является собств. решением (1) при условии: A:2 ≈ /cj-f -f- k'ff-\\-kl = <ullc-^. Комплексная запись (7) включает в себя сразу два решения, соответствующие действительной и мнимой частям. Помимо декартовой системы координат, переменные в ур-шш Гельмгольца (5) разделяются в цилиндрических (полярной, эллиптич. л параболич.), сферической и сфероидальных (вытянутой и сплюснутой) системах.
Неоднородное волновое ур-ние содержит в правой части ф-цию источника
П+=/(Л t) (8)
и наз. Д'Аламбера ур-нием. Его решение состоит из собств. мод ≈ решений однородного ур-ния (1) 'и из | вынужденного решения, связанного с источником. \ В силу линейности (8) справедлив суперпозиции- прин- : цип, поэтому ф-цию / можно разложить по любой пол^ i ной системе ф-ций (обычно выраженных через координаты, допускающие разделение переменных) или представить в виде интеграла (суммы) по элементарным источникам. Часто в качестве элементарного источника бер╦тся дельта-функция Дирака, а соответствующее решение наз, Грина функцией. Всплеск от элементарно-
")
}
