1tom - 0221.htm
ш > П
О
298
ний нулевого приближения определяется" из уравнения:
Предположим, что в нулевом приближении система
находится в состоянии п (т. е. 8 it ∙≈+ £п и ч|>└ ≈»∙ tyn при е≈>0). Тогда решение ур-ния (8) удобно искать
в виде:
Нестационарная В. т. Рассмотрим теперь важный случай, когда возмущения зависят от времени. Осн. задачей здесь является вычисление вероятностей кван* товых переходов между состояниями невозмущ╦нной системы, происходящих под влиянием возмущения. В. т. и этом случае основывается па методе вариации постоянных, так же как и в классмч. механике. Задача состоит в решении ур-ния Шр╦дипгсра
.(0)
∙т
ГГ 1 ^ ft L П \\ * * * Ч \\ /
== Ости + ecmn -f-e wiwiT~ ∙ ∙ ∙
,-└.,, ≈ символ Кронекера). Подставляя ф-лы (10) в (8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим:
при условии, что в нач. момент система находилась
в одном из стационарных состоянии i^> exp ≈ ≈
V п
невозмущ╦нного гамильтониана Я0. Рассмотрим достаточно общую ситуацию, когда возмущение быстро убывает при t≈*∙ i оо, и в качестве начального момента времени выберем точку £ ≈ ≈ со.
Решение ур-ния (14) удобно искать в виде ряда:
. (15)
т
-пп
≈-, -яш ≈ со, -«и >
Cj л О ffi
\ ^1 I V^._ 12
= ≈≈?Г -i
т
ffl ^= n
-2
(11)
в к-ром зависимость коэффициентов разложения от времени возникает только благодаря возмущению:
*С*а<0= 2е7**
it Здесь
CO>
«та
п И Т. Д.
(t) =
exp ≈-
ft
Здесь
матричный элемент оператора возмущения (dq ≈ эле-
мент объ╦ма); волновые ф-ции ^ J считаются нормированными на единицу. Заметим, что поправка второго приближения к энергии осн. состояния иссгда отрицательна.
Из ф-л (11) следует, что в тех случаях, когда имеется вырождение, т. с . система в низшем приближении
имеет близкие уровни, \£п} ≈ ^m'l <|EF,,m|, В. т, в описанном виде переста╦т быть применимой. В этой весьма распростран╦нной ситуации приходится точно роптать задачу о расщеплении близких уровней. Она сводится к решению т. н. секулярного ур-ния (от англ. secular ≈ векоиой; аналогичные ур-ния возникают в теории вековых возмущений в небесной механике):
Решение ур-ний (16), так же как и в предыдущш примерах, легко найти в виде ряда по малому параметру е, к-рый в качестве множителя может быть выделен в возмущении.
Для простоты рассмотрим случай, когда возмущение содержит только одну гармонику с частотой ш, т. е. U(t)=-V схр (≈ Ш). Ф-ции | Стп (t) |2 характеризуют вероятность перехода под влиянием возмущения к моменту времени t из нач. состояния п в другое собств. состояние m нсвозмущ╦'нного гамильтониана. Представляет спец. интерес отнес╦нная к единице времени вероятность перехода из состояния п при t ≈».≈» в состояние т при t-≈*-|-a>. Эта величина в первом приближении В. т. определяется выражением:
lim 4r
Уп≈
(12)
где я, п1 нумеруют псо состояния, имеющие энергию, совпадающую в нулевом приближении с £{ц}. Решение
ур-ния (12) да╦т, вообще говоря, разл. <?!tV для разных п1 . Происходит полное или частичное снятие вырождения (в зависимости от характера нарушения симметрии невозмущонной системы возмущающим потен-
циалом). Подставляя поочер╦дно корни £≥ в ур-нис
гдс б ≈дельта-функция Дирака. Т.о., за бесконечно большой отрезок времени переход осуществляется с сохранением энергии. Интегрируя (17) по малому
энергетич. интервалу А£ в окрестности £V и считая, что число квантовомеханич. состояний в этом интер-
/ г, (Ql\\ f\\
вале равно р (£п } Ае, где р ≈ плотность уровней энергии, получим выражение для вероятности перехода в единицу времени в виде:
(13)
w
(18)
п'
304
для нахождения коэффициентов разложения волновой
V ∙- "I (0)
ф-ции о|?л по вырожденной системе состоянии ip^', можно установить вид волновой ф-ции низшего приближения. Описанная процедура находит применение в очень широком круге физ. задач. Напр,, гамильтониан Я0 может соответствовать задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра. При этом возмущение U может описывать взаимодействие с медленно меняющимся во времени электрич. или магн. нолем (возникающее ири этом расщепление уровней наз. соответственно Шпшрка эффектом или Зеемапа эффектом}', в качестве V могут фигурировать спин-орбитальное или. спин-спиновое взаимодействие и т. д.
Бели нач. состояние п характеризуется импульсом р и нормировано на единичную плотность потока, а конечное состояние характеризуется импульсом р' и нормировало на единицу (точнее, на 6-функцию от /?/2л&), то выражение (18) имеет размерность площади и представляет собой дифференц. сечение рассеяния. Ф-ла (18) при этом соответствует т. н. борновскому приближению теории рассеяния.
Описанная методика с нск-рыми модификациями охватывает широкий круг задач, относящихся к переходам между уровнями анергии и атомах и атомных ядрах, к распадам нестационарных состоянии, к описанию рассеяния и т. д. Она непосредственно обобщается на случай квантовой теории поля (KTI1).
")
}
