|
|
рукоятки A ft соответствует равномерный подъ╦м винта />, прич╦м за каждый полный оборот рукоятки подъ╦м винта равен Л; тогда искомая связь да╦тся пропорцией os-д: 6sD =2лй : h, где а ≈ длина рукоятки. Из ур-ния (2) определяется условие равновесия механизма: Р=
302
Методами гсом. статики рассмотренная задача (если не будут указаны все детали скрытого в коробке механизма) вообще решена быть не может. Для систем с леек, степенями свободы ур-*шя (1) можно составлять для каждого независимого перемещения системы в отдельности.
В. п. п. широко используются также в статике деформируемых (твердых и жидких) тел. При этом учитываются все действующие на тело объ╦мные и поверхностные силы, включая внутр. напряжения, а суммирование в ур-ние (1) заменяется интегрированием соответственно но объ╦му и поверхности тела.
О применении метода, аналогичного даваемому В, п. п. к решению задач динамики, см. Д'Аламбера ≈ ∙
Лагранжа принцип.
Лит.: Суслов Г. К., Теоретичен а л механика, 3 изд., М. ≈ д|( 194(j; Бухгольц H. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 1, 9 изд., М., 1972; Л а г р а н ж Ш. Л., Аналитическая механика, пер. с франц., т. 1, 2 изд., М. ≈ Л., 1950. С. М. Тарг.
ВОЗМУЩЕНИЙ ТЕОРИЯ ≈ метод решения задач, основанный на разложении по малому параметру (е), позволяющий вслед за решением «невозмущ╦нной» задачи, соответствующей нулевому значению малого параметра, находить пут╦м последовательных итераций решение «возмущ╦нной», отвечающей £^=0. При этом возмущением является любое малое отклонение от упрощ╦нной задачи, допускающей точное решение.
Лишь ограпич. класс задач может быть реш╦н точно, поэтому практически в каждой проблеме приходится использовать упрощ╦нное описание, к-рое сводится к нахождению одного или неск. членов разложения искомого решения по малому параметру. Малый параметр может явно содержаться в исходных ур-пиях, но в ряде случаев его приходится вводить искусственно, для удобства. В сложных задачах требуется преобразовывать исходные ур-ния и только после нетривиальных упрощений уда╦тся выделить малый параметр и использовать В. т. Если старшей из степеней малого параметра е, к- рая учитывается в решении, является е", то говорят об m-м приближении В. т. Решение исходной невозмущ╦нной задачи соответствует, т. о., нулевому приближению. Выбор нулевого приближения определяется критериями удобства и простоты, а также условием быстрой сходимости ряда по степеням е, к-рый описывает вклад иоследоват. итераций по возмущению.
В. т. широко используется для решения задач в математике, физике, механике, химии, технике. Рассмотрим ряд примеров, имеющих наиболее общий характер и достаточно широкую область применимости.
Теория возмущений в небесной механике
Исторически термин «возмущение» приш╦л и физику именно отсюда. Методы В. т. развивались в этой области на протяжении двух-тр╦х столетий, и разработанная здесь общая и эффективная методика В. т. имеет широкую сферу применимости.
Типичная проблема, к-рую приходится решать при изучении движения небесных тел, состоит в следующем. Известно невозмущ╦нное движение планеты вокруг Содн-ца (задача двух тел, или задача Кеплера). Требуется учесть возмущения орбиты планеты, возникающие под влиянием постороннего третьего тела (задача тр╦х тол) или неск. тел. Такими телами обычно являются другие планеты Солнечной системы. Вызываемые ими возмущения, как правило, малы (напр., взаимодействие Земли с Юпитером, к-рый оказывает наиб, из всех планет влияние на орбиту Землтц не превышает 1/17000 от взаимодействия с Солнцем). Но точность астр, данных очень высока, поэтому во многих случаях оказы-
вается недостаточным ограничиться первым приближением В. т.
В нулевом приближении орбита планеты (для определ╦нности далее будем говорить о Земле) является эл: липсом. Положение Земли на орбите определяется заданием момента времени t и шести постоянных (по числу степеней свободы тела ≈ три компоненты координаты а три компоненты скорости): большой полуоси эллипса а, эксцентриситета б, долготы узла Q (характеризующей угол между осью х м линией узлов, к-рая определяется пересечением плоскости эллипса с фиксированной координатной плоскостью ху}, угла наклона i плоскости эллипса к плоскости ху, долготы перигелия ш (характеризующей угол между радиусом-вектором перигелия и линией узлов), т. н. ср. эпохи т (определяющей момент времени прохождения планеты через перигелий), Параметры а, б задают форму эллипса, углы Q, i определяют положение плоскости эллипса в пространстве, aw ≈ положение эллипса в его собств. плоскости, параметр т фиксирует начало отсч╦та времени. Обозначим чорез |у, / = !,. . . , б набор из псрсчисл. постоянных. Орбита другой планеты (для определ╦нности ≈ Юпитера) также характеризуется заданием своих шести
постоянных |/. При уч╦те взаимодействия с Юпитером орбита Земли искажается и уже не является эллипсом. Но если в какой-то момент времени £0 «выключить» это взаимодействие, то с данного момента Земля снова начн╦т двигаться по эллипсу, касательному к реальной орбите. Ее траектория при t>tl} будет характерная ваться набором постоянных £/(£0) [эллипс касается реальной орбиты, поскольку параметры |у (tn) однозначно определяют начальные положения q(tQ) и скорость q(t0)]. Т.о., реальная траектория характеризуется заданием в каждой точке касательных эллипсов, по к-рым двигалась бы Земля при мгновенном выключении взаимодействия с Юпитером в момент времени, отвечающий данной точке траектории. Поэтому реалч-ная траектория определяется набором величин £/(*), к-рые паз. оскулиругощими (касательными) элементами. Такое описание хорошо приспособлено к применению В. т. из-за того, что зависимость оскулирующих элементов от времени возникает только благодаря возмущению, вызванному влиянием постороннего тела.
Процедура В. т. состоит теперь в следующем. Воз-мущающие силы зависят от t и неизвестных элементов
орбиты \j(t] и ?/(0- Но в первом приближении эти силы можно вычислять при постоянных элементах орбиты, отвечающих значениям оскулирующих элементов при г=0. Иначе говоря, действит. возмущающие силы можно заменить теми силами, к-рые действовали бы на тело при движении по первоначальным эллипсам, удовлетворяющим законам Кеплера. Если в качестве параметров орбиты выбраны оскулирующие элементы, то это хорошее приближение, т. к. их изменение в процессе реального движения является небольшим (пропорциональным возмущающей силе). Далее, при заданных возмущающих силах можно найти новые элементы орбиты, снова подставить их в возмущающие силы и т. д. Возникает ряд по степеням возмущающих сил, к-рый в случае планетной системы является рядом по малой величине отношения масс планет к массе Солнца. Описанная процедура наз. методом н а р и а ц и и постоянных. Аналитически она выглядит след. образом.
Ур-ния движения системы тел в каыонич. форме имеют вид:
дн
&Ра '
Ра =- ≈
дН
а = 1, 2,
(1)
где <7«, ра ≈ обобщ╦нные координаты и импульсы, 2п≈ число степеней свободы,
, р)
(д, р,
(2)
")
}
