1tom - 0195.htm
274
Г X
<
а ш
Г
ческое действие световой волны связано с е╦ злсктрич* вектором.
Лит.: Л а н д с б е р г Г, С., Оптика, 5 и:*д., М., 1Н76.
∙7Л Н. /^широкий.
ВИНЕРА≈ХЙНЧИНА ТЕОРЕМА ≈ утверждение о том,
что спектральная плотность Г (со) стационарного случайного процесса £ (f), связанная с его коррсляц. ф-цией Г (т) ≈ <£(Н т)£* (£)> преобразованием Фурье:
со
Г (со) = (2л)-1 Г Г(т)е-!ЫТ<2т,
(1)
неотрицательна, Г{ш)5^0 (угловые скобки означают статистич, усреднение, * ≈ комплексное сопряжение). Спектральную плотность наз. также спектром мощности случайного процесса. В.≈X. т. получена Н. Винером {N. Wiener) в 1930, в иной формулировке ≈ А, Я. Хннчиньш в 1934.
Неотрицательность спектральной плотности Г (w) позволяет трактовать эту величину (при ю^О) как меру интенсивности флуктуации случайного процесса Е, (t) на частоте о>. Такая трактовка становится очевидной,
если заметить, что спектральная плотность Г (<и) связана со случайным спектром
,-imt
(2}
соотношением <| (ft>i) £* (й>в)> ~ Г ((°i) б (Ш1 ≈ юя)» гЛ.е б (со) ≈ дельта-функция. Это наглядное соотношение непосредственно вытекает из (1) и (2) и при тиоретич. анализе обычно позволяет получать правильные следствии, однако оно является чисто формальным, т. к. отд. реализации стационарного процесса | (t), вообще гоноря, не исчезают при 11 \\ ≈-VQQ и спектр (2) в обычном смысле не существует. Чтобы обойти :>ту трудность, достаточно рассмотреть вместо (2) спектр «обрезанных» реализаций;
т
(3)
- т
к-pLiii при больших Т можно трактоиатъ как нок-рую аппроксимацию (2). Из (1) и (3) следует, что для стационарного процесса
1~/,л 1 ∙ т ≈ ~1 /1-7 Т (oj)= lim
т-
со
т. е. спектральная ллотиость пропорциональна ср. квадрату амплитуды случайного спектра |r{ti)).
Спектральная плотность Г (со) служит одним из осн. понятий при корроляц, а71ализе случайных ф-цид н ста-ткстич. радиофизике, л теории равновесных тепловых флуктуации, в физ. кинетике и др. и допускает непо-срсдстн. обоблишие на статистически однородные и стационарные случайные поля, переходя в пространственно-временной спектр случайного поля.
Лит..: Гроот С. д п, М а а у р II., Нсралшшоснап термодинамика, пер. с англ., М., 1%^; Введшие в статистическую радиофизику, ч. 1 ≈ Р ы т с) в С. Ы., Случайные: процессы, М.. 1!)7(>; ч. 2 ≈ Р ы т о в С. М., It р а в д о и Ю. А., Т а-т а р с к и н В. И., Случайные поля, М., 197В; Я г л о м Л. М., Корреляционная теория стационарных случайных функций с примерами эти метеорологии, л,, 1981. Л. А. Апресян,, ВИНЕРА ≈ ХОПФА МЕТОД ≈ метод решения интегр. ур-нии спец. вида
05
v (х ≈ и) «
\ 4S Г I
280
еаз. ур-пиямп тика Винера≈Хопфа. Разработан Н. Винером и Э, Хонфом (Е, Hopf) в 1931 Введение ф-цмй Ф±{а:) ≈0(±д:)(р(яг), где 0(^)^1 при £>0, 0(ж) = 0 при
аг<0, позволяет свести интеграл в этом ур-нии к интегралу типа св╦ртки. Применяя преобразование Фурье,
получаем линейное ур-ние с двумя неизвестными ф-ция-ми. Используя их свойства аналитичности, можно найти общее решение исходного ур-ния с точностью до произвольных постоянных, к-рые определяются из дополнит, условий.
В.≈X. м. был разработан для задачи о дифракции волн на полуплоскости, наш╦л применение н теории волноводов, в задачах о дифракции волн и переносе
излучения.
Лит.: Ф о к В. А., О некоторых интегральных уравнениях математической филики, Матом, сб., 1У44, т. 14, Лн 1≈2, с. 3 ≈Г)0; Морс Ф. М., Ф в ш б а х Г., Методы теоретической фи.чики, пер. с англ,, т. 1, М., 1958; II о 0 л Б,, ТТримо-ншио метода Винера≈Хопфа для решения дифференциальных урапнотпй в частных производных, пер. с англ., М.т J962; М э-т ь ю ;i Д ж., У о к е р Р., Математические методы физики, пор. с англ., М., 1972,
ВЙЫКРОВСКИП СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ≈ нормальный марковский случайный процесс x(t) с независимыми приращениями. В любой момент времени t распределение вероятностей В. с, п.≈гауссово (нормальное). Плотность вероятности В. с. п. в одномерном случае равна
и удовлетворяет диффузии уравнению dP/dt = = (а/2) &*Р/дх*, где «≈кояф. диффузии. Плотность распределения приращений &х = х (t2) ≈ x (fi) за время
Распределение вероятностей B.C.IK изучено II. Винером в 1923- Ср. значение В, с. н. равно пулю, <я (£)>_- О, а дисперсия линейно раст╦т со временем: o-2=^ai, корреляц. ф-ция Б. с. п. определяется ныражснием
<д: (t) #(£')> ≈ amin (t, tf).
Траектории В. с. п. непрерывны, по нигде не дифференцируемы. Производная В. с. п. ≈ обобщенный случайный процесс п (/) ≈ наз. белым шумом (стационарный нормальный случайный процесс с независимыми значениями, нулевым ср. значением и дельтаобразной корриляц. ф-цисй, <п (О п {£')>≈ яб (/ ≈ t1)). B.C.IT.≈ общепринятая модель броуновского движения, описы-
вает флуктуации фазы в автогенераторах и лазерах. Лит.: К а ц М., Вероятность и смежные вопросы в физике, пер. с англ., М.. 19'iEi; Ахманол С, А., Дьяков Ю. Е., Ч и р к и н А. С,, Введение в статистическую радиофизику и оптику, М., 1981. P. A. MVHAOC. ВПНЕРОВСКИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ≈ интеграл но мерс Винера от к.-л. функционала и про-
странстве С^ (О, Т) fc-мсрных непрерывных траекторий х(?), определенных для значений параметра t на отрезке [О, Т\\, прич╦м аг(0)-г^0. Если W^° T-- мера
Винера в C'fr" (О, Т] (расиределсние вероятностей вине-
ровска?о случайного процесса, начинающегося н точке #0)т то для любого функционала /'' \х (т}] В. ф. и. равен
/'* [х (т)] d\\V^> T. Часто такие интегралы опре-Cffl (О, Г)
к
дел я ют по условной мере И-'д*"^0, порождаемой мерой
Винера на пространстве траекторий х (/) H.I Cp (О, Т), та-
ких, что х(Т) ≈ уа. В.ф. п. висд╦н И. Винером в 1923. ирименения В. ф. и. ь матом, финике сииланы с ил-вести ым представлением 2' puna функции 6т(.г, у} для диффузии уравнения du/dt≈ &it-\\-V (х)и, где Д ≈ оператор «Лапласа, V (х) ≈ потенциал:
С
у)
охр - V [х (т)] dr
Корректность определения В. ф. и, служит матом, обоснованием использования функциональных интегралов в квантонои механике.
Лит.- К а д М., Вероятность и смежные вопросы п физике, пер. с англ., М,, 19бГ>: Г л и м ы Д., Д ж а ф ф е А., Математические методы клаптовоп фи:шии. Подход с использованием функциональных интегралов, пер. с англ., М., 1!Ш4.
Р. А. Минлос,
")
}
