1tom - 0174.htm
нечна, то случайная величина S _^^n,~t(X1 \-...-\\-Xfi) имеет приблизительно нормальное- распределение со средним р к дисперсией о^/г"1, т. е. при a:1-~pn-\\-
-f-аал1'1, b,j ≈-pn-\\- ban '* и а < b вероятность события А стремится с ростом п к Ф (Ь) ≈ Ф (а), Т. о., для схо-
п
'г(3п-
димости распределения случано величины п к нормальному достаточно лишь наличия у слагаемых Xk конечной дислсрсии, а н остальном вид распределения Xfc не важен; втим объясняется шпрота распространения нормального распределения в практич. применениях В, т. Не менее сстеств. образом при суммировании случайных величин с бесконечной дисперсной в качестве предельных распределений появляются устойчивые распределения, отличные от нормального (naiip., Коши распределение). Па практике весьма полезны и т, н. теоремы о больших отклонениях, к-рые позволяют с высокой относит, точностью аппроксимировать малые вероятности. Осн. метод доказательства предельных теорем основан на использовании характеристических функций. Аналогичные предельные теоремы доказаны и для случайных лекторов (в т, ч. бесконечномерных), известны также предельные теоремы для объектов более общей алгебраич. природы: случайных матриц, элементов группы и т. д. Кроме того, можно ослабить условие независимости Х%.
Случайные процессы. Одним из осн. разделов В. т. является теория случайных процессов и полей, важность к-рой обусловлена огромным кол-вом е╦ приложений. Случайным процессе м наз. однопарамет-рич. семейство случайных величин X (t). В большинство приложений параметр t является временем, и термин «случайный процесс» относится именно к этому случаю; когда одномерный параметр t не имеет смысла времени, часто говорят о случайной функции, а в случае многомирного t ≈ о случайном поле. Если параметр t целочисленный, то случайный процесс наз, с л у ч а й-н о и последовательностью или временным р л д о м. Случайный процесс, как и случайную величину, можно охарактеризовать его распределением; для этого достаточно задать его конечномерные распределения, т.е. совокупность совместных распределений случайных величин Х(*]), X (22), ..., X(ta) для всевозможных ilT 22, ..., tn и п. Для случайных процессов, как и для случайных величин, доказано большое кол-во предельных теорем (иногда их наз, функциональными предельными теоремами),
Наиб, развита теория двух спец. классов случайных процессов, к-рые в то же время чаще всего встречаются в применениях: марковских случайных процессов и стационарных случайных процессов. Случайный процесс наз. марковским (или процессом без последействия), если для любых t^^t^ условное распределение X (t^) при условии, что известно поведение X (t) при t^t^, зависит только от значения X (^) (т. с. «будущее» при фиксиров. «настоящем» от «прошлого» не зависит). Такие процессы являются естеств. обобщением детерми-нпров. процессов, рассматриваемых, напр., в классич. механике, для к-рых состояния системы в моменты ^-ti однозначно определяются е╦ состоянием ^; MIT. задачи для марковских процессов к дифференц. ур-ниям для ф-ций, опредераспределения вероятностей процессов.
Стационарность случайного процесса означает неизменность но времени его вероятностных закономерностей, В В. т. рассматривают два вида стационарности: стационарность в узком смысле, когда конечномерные распределения инвариантны относительно сдвига времени, и стационарность в широком смысле, когда от времени t не занпгят лишь матем. ожидания MX (t} п M,X(t~\\-s)X (t). Па практике чаще используют предположение о стационарности ь широком смысле.
Важнейшей областью применения результатов В. т. н источником новых задач для нее является матема-
времени в момент сводятся ляющих
а ш
т и п р с к а я статистика ≈ раздел математики, посвящ╦нный матем. методам обработки и использования статистич. данных. Типичными для матем. статистики являются задачи, в известном смысле обратные задачам В, т.: если в последней, напр., требуется, зная «природу» случайного явления (распределение соотв. вероятностей), указать, как будут себя вести наблюдаемые в эксперименте характеристики УТОГО явления, то в матем. статистике, наоборот, требуется по аксиорим. данным сделать выводы о природе случайного явления. Осн. задачами матем. статистики являются статистическое оценивание ц проверка статистических гипотез.
Лит.: Г не денно Б. В., Курс теории лероятностей, 5 и;щ., М., Ш!<>; Ф е л л е р В., Впеденж: и теорию вероятностей и ее лрилишеиия, пер. с англ., т. 1≈2, [3 и:щ.|, М., 11)84; С м и р н о в II. В., Д у п и п Б а р к о в с к и и IT. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для тч^лпчпжих приложений, 3 изд., М., 19(>0; Прохоров Ю. В., Р о ;i а н о в Ю. А., Теория вероятностей, 2 ияд., М., 1973; Б О р О Ь к о и А. А., Теория вероятностей, М., 1976.
Я. А. Боровков.
ВЕРОЯТНОСТЬ ≈ основное понятие матем. вероятностей теории, количественная характеристика возможности наступления события А при определенных (неограниченно воспроизводимых) условиях С, Каждая реализация (возможно, мысленная) условий наз. экспериментом, опытом или испытанием, наступление события А ≈ благоприятным исходом, а ненаступление события А ≈ неблагоприятным исходом испытания.
Понятие В, имеет смысл не для всех случа1шых событий, а лишь для тех из них. к-рые обладают статистич. однородностью, или устойчивостью, образуя статистический ансамбль. Понятие статистич. ансамбля используют в вероятностной интерпретации квантовой механики^ статистической физике. В классич, механике предполагают, что состояния системы с неточно заданными нач. условиями обладают статистич. однородностью. Универсального, математически строгого определения статистич. устойчивости не существует.
Если общее число равновероятных исходов конечно, то В. Р(А) наступления события А вычисляют на основе «классического» определения как отношение числа т благоприятных исходов к общему числу испытаний п'. Р(А)=т/п. Та же идея, но существу, лежит в основе др. определений В., обобщающих «классическое» на случай бесконечного (дискретного или континуального) множества возможных исходов.
Так, если в потенциально бесконечной (т. е. неограниченно продолжаемой) серии испытаний событие А в первых п испытаниях наступает т раз, то В. Р (А) определяют как Р (A) ≈lira (mjn),
Если множество возможных исходов не дискретно, а континуально, то В. Р (А] события А определяют как отношение меры Лебега подмножества благоприятных исходов к мере Лебега множества всех исходен.
Лит. см. при ст. Вероятностей теория. Ю. А. Данилов. ВЕРШИНА в Фейнмана д н а г р а м мах ≈ элементарный графич. символ, описывающий взаимодействие квантовых полей. Наглядно изображает акт локального элементарного взаимодействия частиц ≈ квантов этих полей. По правилам Фейнмана, В. соответствует структуре лагранжиана взаимодействия данных полей (см. табл. к ст, Фейнмана диаграммы).
Д. Н. Ширков.
ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ (вершинная функция) ≈ одна из осн. ф-ций в квантовой теории поля, характеризующая взаимодействие между квантовыми нолями; содержит все радиационные поправки. В перепоржированной теории возмущений В. ч. определяется как сумма вкладов, отвечающих сильно связным Фейнмана диаграммам с числом и типом внспт. линий, определяемых соответствующей вершиной в правилах Фейнмана.
Так, напр., В. ч. Гд (р, р'; д) в квантовой электродинамике определяется суммой (перенормированных) вкладов, к-рые, по правилам Фейнмана, изображаются _ диаграммами (рис.) и представляются в виде степей- 261
")
}
