|
|
U
о
X
о
о.
достоверное событие Q. Формула полной ве-
роятности
"_ P(A\\Bi)P(Bi)
If ^^ X
для любого события А позволяет вычислить его вероятность по условным вероятностям P(A\\Bf), найти к-рые часто значительно легче, чем Р (А). Формулу К е и е с а
i = l
широко используют в статистике, события #,' при этом наз. гипотезами, Р (В{) ≈ их априорными вероятностями, a P(Bj A}≈-апостериорной вероятностью ttj (вероятность справедливости гипотезы В^ если известно, что наступило событие А).
События А и Б наз. н е з а о и с и м ы м и, если условная вероятность одного из них при условии наступления другого равна его безусловной вероятности, или, что то же, если Р (A f}B) ^Р (А) Р (В]. Аналогично события AI, А2, ..., Ли наз. независимыми, если для любых 1 <; /1 ^ (*я < ∙ ∙ ∙ < ik ^ Я' *
(Отметим, что из попарной независимости событий отнюдь не вытекает их независимость в совокупности.) Последнее равенство наз. теоремой умножения вероятностей. Ф-ла (1) останется справедливой, если нек-рые из Л,- заменить в обеих частях на дополнительные к ним события AI.
Пример. Пусть события Ль ..., Ап независимы и имеют каждое вероятность р. Эти события можно интерпретировать как «успехи» в наблюдении нек-рого случайного события в п независимых испытаниях. Тогда вероятность наступления роино т успехов равна -∙" /-.m ni /0ч
W С*=т\\&-т)1' <2)
\п ≈ т
Действительно, можно взять Q={(ii, . --, iH)» все ife^O или 1}, где ift ≈ 1 соответствует наступлению Л^, а /и ≈ 0 ≈ его нснаступлешпо. Наступлению т успехов благоприятствуют те исходы (г1( . . . , г└), у к-рых среди
ift ровно fn единиц; всего таких исходов Cff, а вероятность каждого такого исхода в силу независимости Ah, свойства (4) и ф-лы (1) равна р'п (1 ≈ р}т~п.
К этому примеру непосредственно примыкает одна из первых (и важнейших) предельных теорем В, Т, ≈ т сорим а Бернулли (простейшая форма больших чисел закона), согласно к-рой вероятность значит, уклонения частоты успехов v от вероятности р нри больших п становится сколь угодно малой. Т.о., рассматриваемая матем. модель случайных явлений приводит к согласующемуся с ирактич. наблюдениями выводу о стабилизации частот случайных событий около их вероятностей.
Скорость стремления частоты v к р оценивают с по-мощью теоремы Лапласа (частный случай центральной предельной теоремы], С ростом п вероят-
ность Р (а < (\\г ≈ р)п**[р(1 ≈ п)]~1'* < Ь) стремится к
*
ф &_
Где ф
у2/2) dy≈
= (2я)-'- ехр(
j " со
ф-цнн стандартного нормального распределения (Гаусса распределения).
Частота v является типичным примером др, объекта В.т. ≈ случайнои величины. Так называется любая ф-ция X, ставящая в соответствие каждому исходу со/ число ж/, при отом сроди х^ могут быть и равные. Конкретный вид отображения о>/≈+xf часто несуществен, достаточно знать лишь распределение случайной величины X, т. е. набор разл. возможных значений #, и приписываемых им вероятностей. Математическое ожидание случайной величины X определяется как
260 число MX-
Пример. Пусть в предыдущем примере для исхода (ij, . . ., ifc, ..., i,), &≈1, . . . , н, т, е. случайные величины Xfe принимают на N = 211 исходах лини, два возможных значения: 0 и 1, с вероятностями 1 ≈ р и р соответственно, так что
Частота успехов v^=n~l 2fc=i -^*» ПРИ этом ^
равна (2), т. е. vn. имеет биномиальное распределение.
В этом примере рассматривался набор случайных величин X = (Х1( .. ., Хп), или случайный вектор. Основной характеристикой случайного вектора, как н случайной величины, является его распределение (совместное распределение случайных величин Xii ..., Х└), т. с. набор возможных его значений (%!, ,.., хп) и их вероятностей, равных вероятностям совмещений событий {Х\\ ≈#i}> . .,, [Хп ≈хп]. Если :ли события для всех наборов (х^ ...т хп) оказываются независимыми, то случайные величины Х^ ..., Хп также паз. н е з а и и с и м ы м и. О важнейших числовых характеристиках случайных величин см. Дисперсия, Моменты случайной величины, Корреляции коэффициент.
Аксиоматика теории вероятностей. Элементарная В. т. недостаточна для описания случайных явлений уже в простых ситуациях. Модель с конечным числом исходов непригодна, напр., для понятия «случайно выбранной на отрезке точки». Такого рода трудности позволяет преодолеть схема, предложенная А. Н. Колмогоровым в 1033 и ставшая с тех пор общепринятой.
Осн. элементами атой аксиоматич, схемы являются: пространство элементарных событий И, к-рое может быть множеством произвольной природы, нек-рый класс JJF его подмножеств, т. е. множеств элементарных событий, к-рыо наз. событиями, и числовая ф-ция Р на ,*Г, к-рая удовлетворяет условиям 1}≈3) и наз. вероятностью. Для корректности матем. модели требуют, чтобы класс $* был о-алгеброй (т. е. чтобы само S.J было событием и, значит, принадлежало Jp, чтобы наряду с любым событием А классу |р принадлежало
бы и его дополнение А и чтобы для любой бесконечной последовательности событий А^ А^ ... их объединение А^[]А^{],,. также было событием), а ф-ция Р была сч╦тно-аддитивной, т. е. чтобы вместе со свойством 3) имело место следующее: есл и события Aii A2t ... попарно несовместны, то Р (^iU ^aU ∙ - ∙) = ≈ Р (Ai) |- Р (А2) -+-... [это означает, что Р является мерой на измеримом пространстве (£2, dF)]. Тройка (Q, ^", Р) наз. вероятностным пространством. Очевидно, что элементарная В. т. является на самом деле частным случаем реализации этой схемы; е╦ осн. определения остаются в силе и в общем случае. Одно из существ, отличий заключается в определении случайной величины Х = А'((о): требуют, чтобы множества {«; X (to) < х) принадлежали классу jf при всех х. Для таких ф-ций X можно определить абстрактный интеграл Лебега, к-рый и наз. матем. ожиданием случайной величины X. Задавать случайную величину X удобнее всего с помощью е╦ ф-ции распределения F (#) = Р (X < х}.
Предельные теоремы. Осн. задача В. т.≈ находить по вероятностям одних случайных событий вероятности других, связанных к.-л. образом с первыми. Типичный пример ≈ определение вероятности события Ап =
= {а└ < Xi-{-X3-r-... -г-Х,, < Ь└Ь гДе Хь ≈ независимые случайные величины, имеющие одно и то же известное распределение. Однако при больших п непос-редств. вычисление вероятности Р (Ап) становится очень трудоемким и практически невозможным. В таких случаях полезны предельные теоремы В, т., к-рые позволяют найти приближ╦нные значения искомых вероятностей. Так, если в нашем примере матем. ожидание МХЙ ≈ р и д└ = ал, б., =: &л, то в силу закона больших чисел при любых а < р < Ь вероятность Р {Ап} с ростом п стремится к 1, Центральная предельная теорема уточняет этот результат: если дисперсия DX^^o2 ко-
")
}
