1tom - 0172.htm
253
ВЕРОЯТНАЯ ОШИБКА ≈ одна из мер ошибки при оценке результата. Поличина В. о. означает, что полученный результат отличается от среднего, вероятно, не более чем на эту величину. Обычно в качестве В, о. берут 50%-ную ошибку, т. с. в 50% случаев фактич. ошибка будет меньше вероятной. Если ошибки соответствуют нормальному распределению, то В. о. и,
связана с дисперсией <т2 соотношением fi≈0,674 а.
А, А. Лебедев.
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ ≈ раздел математики, в к-ром строят и изучают матем. модели случайных явлений.
Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ, влияние на ход процесса оказывает очень большое число незначительных по отдельности факторов (как, напр., при движении броуновской частицы или в классич. примере с бросанием монеты), особенно в том случае, когда система динамически неустойчива; статистич, характер имеют также законы квантовой механики. Внешне случайность проявляется как недостаточная регулярность в массовых явлениях, к-рая не позволяет с достоверностью предсказывать наступление оире-дел. событий, т. о. не допускает описания этих явлений в рамках детерминиров. моделей. Тем не менее при изучении таких явлений выявляются определ. закономерности . Свойственная случайным событиям нерегулярность, как правило, компенсируется наличием т. н. статистич. закономерности, стабилизации частот наступлений случайных событий в длинном ряду испытаний; тогда говорят, что данные случайные события имеют определ. вероятность. Пусть при каждом осуществлении нек-рого воспроизводимого комплекса условии С может наступать или не наступать событие А. Наличие у события А при условиях С определ. вероятности р означает, что в достаточно длинной серии испытаний (повторных осуществлений условии С; предполагается, что эти испытания в нек-ром смысле независимы) частота наступления события Л, т.е. отношение числа тех испытаний из серии, в к-рых А наступило, к общему их числу, приблизительно равна р. Т. о., для описания связи случайных событий с условиями их наступлении вместо обычного для классич. естествознания утверждения бв условиях С наступает событие А» приходится ограничиваться утверждением «при условиях С событие А имеет вероятность р». Именно для таких случайных событий, имеющих определ, вероятность, удалось построить содержат, матем. теорию, к-рая и носит название В. т. На практике особенно часто используют такие е╦ результаты, к-рые позволяют утверждать, что вероятность Р (А) наступления определ. события А близка к 1, т. с. что А практически достоверно. Такие результаты относятся, как правило, к области предельных теорем В. т., к-рые и являются ее осн. содержанием.
Статистич. закономерности были известны дакно, понятия В, т. возникли в сер. М в. в работах Б. Паскаля (В. Pascal), П. Ферма (P. Fermat) и X. Гюнгсн-са (Ch. Huygens). Существ, вклад в развитие В. т. внесли Я. Бернулди (J. Bernoulli), П. Лаплас (P. Laplace), К. Гаусс (С. Gauss}T С. Пуассон (S. Poisson), П. Л. Чебышев. В кон. 19 ≈ нач. 20 вв. открыто большое кол-во статистич. закономерностей в физике, биологии и др. науках (радиоакт. распад, законы Менделя и т. д.). Следует отметить, что статистич. закономерности возникают и в неслучайных схемах (напр., в распределении цифр в таблицах ф-цин и т. пт); это обстоятельство используется при «моделировании» (ими-тации) случайных явлений, напр, в Мошне-Карло методе.
Основные понятия теории вероятностей. Для вероятностей случайных событий справедливы след, простые соотношения. Пусть А и В ≈ события, относящиеся к условиям С. Обозначим через А\\]В объединение
событий А и Li (событие «наступает'А или В»), а через И ≈ достоверное событие, т. е. событие, наступающее при каждом осуществлении условий С. События А и В наа. несовместными, если их одвовреы. наступление невозможно. Из частотной интерпретации вероятности следует:
1)0<£/>(4)*£1; 2} 3) P(A\\JB) = P(A)-
для несовместных А я В. Последнее свойство обобщается и на любое конечное число попарно несовместных событий; это свойство наз. теоремой сложения вероятностей.
Строгую В, т, можно построить, исходя лишь из этих соотношений, В наиб, простом е╦ варианте (элементарном В. т.) предполагают, что испытание заканчивается одним из конечного набора fi ≈{iolt
исходов со,-, к-рые наз. элементарными с о-б ы т н я St и. Каждому исходу 0")^ приписывают вероятность /)#5^0» прич╦м PI+ . . .+Ру~1. Рассматриваемые в элементарной В. т. события А ={ь>/, о> имеют вид «наступает со/, или еду ходы to/, toy,
или
ис-
наз. благоприятствующими Л. Событие Q наз. достоверным. Вероятность Р (А } события А равна сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов: P(A)*=pi^pj-\\- . - Н"Р*. Именно так устроена любая числовая ф-ция, заданная на классе всех подмножеств Q и удовлетворяющая условиям (1≈3) (при этом Ли/7 определяют как объединение наборов благоприятствующих А и /? исходов, а несовместными наз. события, не имеющие общих благоприятствующих исходов).
В. т. развивалась вначале в рамках частного случая элементарной В. т., в к-ром p\\≈p%≈- - ∙ ==P*r~N~l и, следовательно, вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих А исходов к общему числу N «равновозможных» исходов {т. н. к л а с с и-ч е с к о е определение вероятности; именно оно имеется в виду, когда говорят о случайном выборе одного из нек-рой совокупности пред.\\тстов). Такое определение вероятности является, по существу, спец. формой записи симметрии случайного явления и поэтому часто встречается при использовании дискретных вероятностных моделей (напр., в статистич. физике, биологии к т. п.). Вычисление вероятностей при этом сводится к подсч╦ту числа благоприятствующих исходои, т. е. к комбинаторной задаче.
В рамках элементарной В, т. можно также наиб. просто определить осн. понятия В. т. Сонме щ о-ннсм (пли пересечением) событий А и В наз. событие А П В = «наступает и А, ц #» (т. е. набор благоприятствующих ему исходов равен пересечению множеств исходов, благоприятствующих А п Ь). Все ;mt определения обобщаются и на любое конечное число событий. Наряду с символами Lh Л н I*. т. ншроко используют н др. теоретико-множеств. обозначения (что естественно, поскольку событии в ней отождествляются
с множествами исходов). Так, А≈д о п о л п п т е л ь н о с (или противоположное) к А событие {образованное всеми неблагонрпятстнующими А исходами); запись А^В означает, что появление события А влеч╦т наступление В. Приведем простейшие свойства вероятности [все они вытекают из 1)≈3)]: 4) Р (А) =^1 ≈ Р (А); 5) если АаВ, то Р(А)^Р(В}\\ 15) Р (А ц В) - Р (A) -f -г Р (В) ≈ Р (А П В) [значит, для произвольных А и В в 3) вместо равенства должен стоять знак «CJ.
Условная it е р о я т н о с т ь события А при условии В определяется как Р (А \\ В] ≈ Р (Af\\B)/P (В), т. е. вероятность события А па подмножестве тех событии, где выполнено П. Такое определение хорошо согласуется с частотной интерпретацией вероятностей. На практике часто используют след, соотношения между вероятностями случайных событий. Пусть йь ..., В;1 ≈ попарно несовместные события и их объединение есть
ш
U О
X
с* О
ш
259
17'
")
}
