1tom - 0165.htm
247
к вектору у приводит к ряду соотношении между градиентом, дивергинцией и ротором, напр.
^=0, или rotgradfp ≈ 0; )~0, или divrotrt, ≈ 0;
или
rot rot (i = grad div n
При такого рода формальных преобразованиях необходимо следить, чтобы дифферент,, оператор \ в окончат. выражении стоял слева от Toii ф-ции, на к-рую он деи-ствует. Если оператор у действует на произведение двух ф-ций, то по правилу Лейбница (правило дифференцирования произведения) можно записать результат в виде суммы двух членов:
кривой. Положит, направление нормали к поверхности S должно быть ориентировано относительно направления обхода контура dS так же, как положит, направление оси х$ ≈ относительно положит, направления вращения в плоскости j;-), x2. Полагая в ф-ле Гаусса ≈ Остроградского rt^i|)gradip, получим важную теорему Грина
(j)dv ф (grad ф)я dS'-^^y {ty Дф -I- (grad у grad ф) } d¥t Ео следствием является ф-ла
<j)av
≈ ф grad
M
Др. интегра.чьиые теоремы можно получить как следствия ужо сформулированных:
или
grad (фф) =:ф grad ty ≈ ^ grad ф.
Сочетая правило Лейбница с правилами векторной алгебры, можно получать соотношении такого типа:
(V («Ф))^Ф(?«) !-{«Л7ф)> и. ш
div (a<p) = <pdiv a- -a grad ср.
В случае более сложных алгебраич. выкладок на промежуточных этапах следует отмечать стрелкой ту ф-цию, на к-рую действует оператор у, не заботясь о порядке следования оператора и ф-ций, и лишь на последнем этапе возвращаться к обычному порядку:
IV («Ф)1 = I V«"Pl + [V »ф| = Ф
V<Pb
или
rot о =
[a grad
Т. о., получаем:
div
rot [ab] = a div b ≈ b div grad (ttfr) = [arot ft] -{-[6 rot
а ≈ a, rot
a ~~
Все осн. дифференц. операции В. а. имеют опродел. гсом. смысл, поэтому значения выражений grad ф, div «, rot а не зависят от выбора системы координат. Все соотношения между дифференц. выражениями также носят инвариантный характер.
В приложениях часто встречаются поток вектора через заданную поверхность и интеграл от него вдоль заданной кривой:
a dS = ( andS=(
j js " J,
Г Г
\ a dr = \\ a.rdl
JL jL
Здесь arl≈ (tin] ≈ проекция вектора a на нормаль к поверхности в данной точке, ar ≈ («т) ≈ проекция его на единичный вектор т, касатслькьш к кривой, dS ≈ элемент площади поверхности, dl ≈ элемент длины кривой. Пусть а ≈ распределение скоростей движущейся жидкости, тогда первый интеграл равен объ╦му жидкости, пересекающей данную поверхность в единицу времени. Если а ≈ силовое поле, то второй интеграл равен работе, совершаемой при перемещении пробного тела вдоль данной кривой. В случае замкнуто)! кривой такой интеграл ваз. ц и р к у л я ц и о и векторного ноля.
Эти интегралы фигурируют в осн. теоремах Б. а. ≈ Гаусса ≈ Остроградского формуле и Стокса формуле'.
^
v V
= divadV, <£.... a
V J oo
(rot «)└ dS.
Здесь 9V ≈ поверхность, являющаяся границей области V, а dS ≈ кривая, ограничивающая поверхность S, Кружки на значках интегралов означают, что интегрирование вед╦тся по замкнуто)! поверхности и замкнутой
dr --=
dS,
(jjdy фп dS = ^ v grad ф dV, £ [па] dS=\\ rot « dV.
иУ t/ V tJ У
Понятия В. а., определ╦нные выше для евклидова пространства, можно обобщить на р планово пространство и др. многообразия. Дифференц. операции приводят к понятию ковариаитиой производной^ интегральные теоремы формулируются на языки дифференциальных форм.
Лит. см. ПРИ ст. Векторлая алгебра. М. Б. Меиский. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ≈ потенциал, определяющий вихревую часть векторного поля.
В электродинамике поле магн. индукции В является строго вихревым (div It≈ 0); для этого ноля вводят В. п, А (часто наз. также вектор-потенциалом): /J≈ rotyl. При атом напряж╦нность эликтригт. ноля 1^ определяется ф-лой _Е = ≈ c~ldAldt≈ \?ф, где ф ≈ скалярный потенциал (см. Потенциалы электромагнита о* га поля)', использована Гаусса, сист.ела единиц. Спяль потенциалов и нолей ве янляется взаимно однозначной, поэтому В, п. следует рассматривать как вспомогат. величину, не допускающую прямых измерений, но облегчающую расч╦т эл.-магн. полей,
Обращение к В. п. позволяет упростить выражение для энергии взаимодействия W системы зарядов и токов (объ╦мная плотность р и j) с внеш. эл.-магн. по-
лем: W= \\ {pff-\\-c-1(jA)}dr. Градиентная инвариант-
ность этого выражения обеспечивается ур-нисм непрерывности dp/0H-div,jf=Q, Отсюда следует, что частица с зарядом q в ил. -магн. поле в дополнение к обычному (чисто динамич.) импульсу обладает ещ╦ электро-Кинетическим импульсом рж^-уА/с, что позволяет придать В, п. соответств. интерпретацию.
В случае перем. процессов с фиксир. зависимостью от времени (напр., ≈охр [itof]) можно исключить скалярный потенциал и для описания эл.-магн. поля использовать только В. п. Так, при лорепцевой калибровке спектральная амплитуда В. п. А^ удовлетворяет волновому ур-нию, а спектральные составляющие электрич. _КМ и магн. Лю нолей в однородной среде с прошщаемостями е((о) и и. (со) определяются соотношениями:
гсоец
л i
A tt -f
Slid)2
. Л
= rot A
(О-
Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 6 и:щ.г М,, П>73; Морс Ф. Мт, Ф о ш б а х Г., Методы теоретической физики, п(;р. с англ., т, 1, М., 1958.
М. А.Миллер, К. В. Суворов.
ВЕКТОРНЫЙ ТОК ≈ квантовый оператор, входящий в гамильтониан слабого взаимодействия. Преобразуется как 4-всктор при собственных Лоренца преобразованиях, При инверсии системы отсч╦та лространстнснные Компоненты В. т. меняют знак, а временная компонента не меняется. В гамильтониан теории электрослабого
X о.
О
£
ш
»--
** 3
")
}
