1tom - 0163.htm
личины ад ffc), ад. (&) ≈ нек-рые комплексные ф-цшт ft*.
1 1 л 1
В силу условия (1) Адец, ≈О, или ео ≈fteV'fcti, т. е, ^^ имеет три независимые компоненты е1, е3, ^:t, при атом ea = (fc/ А: |) (A-0/m), а е1, ^- ≈ два единичных вектора (орта поперечной поляризации), перпендикулярные ft' и друг другу. Вместо них часто используют векторы
т. н. спирального базиса e±^--(el± ге'*}/У~2, описывающего циркулярную поляризацию, или спиральностъ. В КТП величины а^ превращаются в операторы, подчиняющиеся перестановочным соотношениям:
(fe),
_ = [Б J (А),
(3)
где fijlV ≈ Кронеаера символ, б (Л ≈ ft') ≈ делъта-функ-ция (Дирака) векторного аргумента, а все остальные коммутаторы равны нулю, что позволяет трактовать
Эти величины как операторы рождения частицы (л£ (/»')} и античастицы (aj (А:)) с импульсом /с, массой т и линейной поляризацией е*-, а а^ (fo) и я^ (А:) ≈ как опе-
раторы уничтожения частицы и античастицы в УТИХ состояниях.
Квантование В. п. с т=0 имеет, однако, свои особенности из-за того, что условно (1) оказывается несовместимым с перестановочными соотношениями (3) (см. Квантовая электродинамика, Янга ≈ Миллса. поля).
Особая выделенность В. п. связана с тем, что они играют фундам. роль в совр. теории элементарных ча-шщ, выступая в качестве калибровочных полей, обеспечивающих калибровочную симметрию теории. Таковы, напр., эл.-магн. поле, глюонное поле (см. Квантовая, уромодинамика}, поле промежуточных векторных бозонов (см, Элцктрослабое взаимодействие]. Соответствующие им векторные частицы (фотоп, глюоны, промежуточные бозоны) служат переносчиками электромагнитного, сильного и слабого взаимодействий.
Лит.: БоголюбопН. Н. , III и р к о и Д. В., Квантовые поля, М., 1080; К о ц н гг л У в а Н. П., Попов В. 11., Калибровочные полп, М., 1980. А. В. Ефремов. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (линейное пространство) ≈ множество элементов, паз. векторами, для к-рых: определены операции сложения и умножения ва число. Простейший, но важный пример ≈ совокупность векторов п, А», с, ... обычного 3-мерного пространства, Каждый такой вектор ≈ направленный отрезок, задаваемый тремя числами: а≈ {.с,, х2< д-3}; числа хь х2, xs наз. координатами вектора. При умножении вектора на вещественное число А соответствующий отрезок, сохраняя направление, растягивается в А, раз: Ш={Кхг, Kxz, А^з}. Сумма двух векторов находится по правилу параллелограмма; сслиа={лт1, #2> Д"з) и ^~
= fon У 2i 0э К то «-r-*={*i-r-Jfi» 3-2+^2. хз+#з}- Паре векторов а и Ь сопоставляют также скалярное произве-
дение (й&) = :г1<Е/-[-]-а:21/2-|-;Гз1/з (см- Векторная алгебра), Негюсрсдств, обобщением 3-мсрного пространства является n-мериоо евклидово пространство. Его элементы ≈ упорядоченные наборы вещественных чисел, напр. а={дг!, х2, ..., х└], А={(/], yz, -.., у└}. Сложение и умножение векторов па число определены ф-ламн
Ь└), а скалярное произведение ≈ ф-лон ~тХгУъ~^ ∙∙∙-\\~хпУп- Примером комплексного бесконечномерного В, п. может служить совокупность L~ (R1) комплексных ф-ций /, заданных на всей оси IR1 и кнад-ратично суммируемых (т, е. имеющих конечный интег-
РСО
рал \\ \f(x)\\zdx). Многие классы ф-ций, напр, иолп-
J -00
юмы заданного порядка, ф-ции непрерывные, дифференцируемые, интегрируемые, аналитические и т. п., также образуют бесконечномерные В. н.
В каждом В. п., помимо операций сложения и умножения на число, обычно имеются те или иные дополнит. операции и структуры (напр., определено скалярное произведение). Если же не уточняют природы элементов В. п, и не предполагают в н╦м никаких дополнит.
свойстн, то В. и. наз. абстрактным. Абстрактное В. п. L задают с помощью след, аксиом; 1) любой паре элементов х и у из L сопоставлен единств, элемент г, наз. их суммой z=^-(-i/ и принадлежащий L] 2) для любого числа X и любого элемента х из L определ╦н элемент z, наз. их произволением z=Kx и принадлежащий L\\ 3) операции сложения и умножения на число являются ассоциативными и дистрибутивными. Сложение допускает обратную операцию, т. е. для любых х и у из L существует единств, элемент w из L такой, что x-\\-w≈
≈ z/. Кроме того, имеют место ф-лы К(х-\\-у)≈Кх-[-Ку, (Я1-|-л2):г=Я1д:-г-А'2;г' И ели все числа Я вещественны (комплексны), говорят о вещественном (комплексном) В. п.; множество чисел К наз, полем скаляров L. Понятие В. п. можно ввести и для произвольного ноля, напр, поля кватернионов.
Если #1г -Г2, ..., xs ≈ элементы В. п. L, то выражение вида Я|Лг1-|-Х2д:2+.,.-г-Л15.г5 наз. их л и н е и н о и к о м-б и н а ц и е ы; совокупность всех линейных комбинаций элементов подмножества S из L наз. лине и н о и оболочкой S. Векторы л:1, .г2, ,.., xs из L наз. л и-н е и н о независимыми, если условие A^arj-f-
-\\-К&с%-{-...-\\-kfXs-Q (X.J, Я2,..,, Ks ≈ любые элементы поля скаляров) может выполняться только при Я,--= Х2=... = А,Я=0. Бесконечная система векторов паз. линейно независимой, если любая е╦ конечная часть является линейно независимой. Множество элементов
#1, яа, ... подмножества S из L наз. системой о б-р а з у ю щ и х S, если любой вектор х из S можно представить в виде линейной комбинации этих элементов. Линейно независимая система образующих S на;*. базисом S, если разложение любого элемента S но этой системе единственно. Базис, элементы к-poro к.-л. образом параметризованы, наз. системе и к о о р-д и н а т в 5. Базис В. п. всегда существует, хотя и не определяется однозначно. Если базис состоит из конечного числа п элементов, то В. п. наз. п-мерным (конечномерным); если базис ≈ бесконечное множество, то В. п. наз. бесконечномерным. Выделяют также счетно-мерные В. п., у к-рых имеется сч╦тный базис.
Подмножества В, п, L, замкнутые относительно его операций, наз. п о д п р о с т р а п с т в а м и L. По любому подпространству S .можно построить новое В. п. L/S, наз. ф а к т о р - п р о с т р а н с т в о м L no S: каждый его элемент есть множество векторов из L, различающихся между собой на элемент из S. Размерность L/S наз. коразмерностью подпространства S в L; если размерности L N S равны соответственно п и и, то коразмерность 5 в L равна п≈k. Если J ≈ произвольное множество индексов i и Sf ≈ семейство подпространств L, то совокупность всех векторов, принадлежащих каждому из S^ есть подпространство, паз. пересеченном указанных подпространств и обозначаемое [\\S{. Для конечного семейства модиро-
г
странств 5Х, ..., Ss совокупность всех векторов, иред-ставимых в виде
из
(*)
есть подпространство, наз. с у мм ой Л\\, ..., Ss и обозначаемое Sj4-...-i"AV Если для любого элемента суммы ^1+-..~Ь^5 представление в виде (*) единственно, эта сумма наз, прямой и обозначается S1Q...QSS. Сумма подпространств является прямой тогда и только тогда, когда пересечение этих подпространств состоит только из пулевого вектора, Размерность суммы подпространств равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения. В. п. Ь± п L2 ная, изоморфным и, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами, согласованное с операциями в них; LL и L2 изоморфны тогда и только тогда» когда они имеют одинаковую размерность. Конкретные примеры В. п. можно найти в матем, аппарате практически любого раздела физики. Конеч-
Ш
О
X
О £
")
}
