|
|
OL CL 111
X
и
ас
о. ш
наблюдения т достаточно велик, чтобы силы, действующие на частицу со стороны мол о кул среды, много раз меняли сво╦ направление, то ср. квадрат проекции е╦
смещения Ля2 на к.-л. ось (в отсутствие др. внеш, сил) пропорционален времени т (закон Эйнштейна):
д72 = 2Дт;т (1)
где D ≈ коэф. диффузии броуновской частицы. Для сферич, частиц радиусом a: D = kT/Qnf]a (Т ≈ абс. темп-pa, Т| ≈динамич. вязкость среды). При выводе закона Эйнштейна предполагается, что смещения частицы в любом направлении равновероятны и что можно пренебречь инерцией броуновской частицы по сравнению с влиянием сил трения (это допустимо для достаточно больших т). Ф-ла для коэф, D основана на применении Стокса закона для гидродинамич. сопротивления движению сферы радиусом а в вязкой жидкости. Соотношения
для Дя2 и D были экспериментально подтвержде- Броуновское движение тр╦х чаны измерениями Ж. Пер- сти» гуммигута в воде (по Пер-
тк'на П Pprrinl и Т CTIPTT- Р?"У>. Точками отмечены лоло-ptaa (J . rernnj и i. ивед ,к(,нкя частиц черед каждые зо с,
берга (Т. Svedberg). Из Радиус частиц o,f)2 мкм, рас-этих намерений экспери- стояния между деленными сетки
ментально определены по- у>4 мкм* стоянная Больцмана k и Авогадро постоянная NA.
Кроме поступательного Б. д., существует также вращательное В. д. ≈ беспорядочное вращение броуновской частицы под влиянием ударов молекул среды. Для вращат. Б. д. ср. квадратичное угловое смещение частицы Дфа пропорционально времени наблюдения
ДФ~2-2ЛВРТ, (2)
где £Ер≈ козф. диффузии вращат. Б. д., равный для сферич. частицы: Z?Bp≈йГ/8ят|а3. Эти соотношения были также подтверждены опытами Перрена, хотя этот эффект гораздо труднее наблюдать, чем поступательное Б. д.
Теория Б. д. исходит из представления о движении частицы под влиянием «случайной» обобщ╦нной силы i(t], к-рая описывает влияние ударов молекул и в среднем равна нулю, систем эти ч. внеш. силы X, к-рая может зависеть от времени, и
∙
силы трения ≈ hx, возникающей при движении частицы в среде со скоростью х, Ур-ние случайного движения броуновской частицы ≈ Лапжеаена уравнение ≈ имеет вид:
mx±hx = X^rf(l), (3)
где т ≈ масса частицы (или, если х ≈ угол, е╦* момент инерции), h ≈ коэф. трения при движении частицы в среде. Для достаточно больших промежутков в реме-
∙ ∙
ни (i~2>m!h) инерцией частицы (т. е. членом тх] можно пренебречь и> проинтегрировав ур-нис Ланжевена при условии, что ср. произведение импульсов случайной силы для неперекрывающихся промежутков времени
равно нулю, найти ср, квадрат флуктуации А.та, т. е. вывести соотношение Эйнштейна. В более общей задаче теории Б. д. последовательность значений координат и импульсов частиц через равные промежутки времени рассматривается как марковский случайный процесс, что является др. формулировкой предположения о независимости толчков, исиытываемых частицами в разные неперекрывающиеся промежутки времени. LJ этом случае вероятность состояния х в момент t полно-
стью определяется вероятностью состояния #0 в момент £(( и можно цвести ф-цию и>(£0, д-└; /, а:} ≈ плотность вероятности перехода из состояния .г0 в состояние, для к-рого .т лежит в пределах х. x-\\-dx в монет времени t. Плотность вероятности удовлетворяет интегральному ур-нию Смолуховского, к-рое выражает отсутствие «памяти» о нач. состоянии для случайного марковского процесса. Это ур-ние для многих задач теп» рии Б. д. можно свести к дифферонц. Фоккера ≈ Планы уравнению в частных производных ≈ обобщ╦нному ур-нию диффузии в фазовом пространстве. Поэтому решение задач теории Б. д. можно свести к интегрированию Фоккера ≈ Планка ур-лия при оиредел. граничных и нач. условиях. Матом, моделью Б. д. является вииероаский случайный процесс.
Статистич. механика неравн-авесных процессов позволяет выразить коэф, трения броуновской частицы в среде через интеграл по времени от временной корреляц. ф-ции действующих на не╦ сил [Дж. Кирквуд (J. G. Kirkwood), 1946, Лебовиц (J. L. Lebowitz) и Рубин (Е. RubinJ, 1963], Методы теории Б. д. оказали большое влияние на статистич. теорию неравновесны! процессов в жидкостях [Дж. Кирквуд, М. Грин (М. S. Green), 1952, 1954]. Выражения для кинетических коэффициентов жидкости (вязкости, диффузии, теплопроводности) через корреляц, ф-ции потоков (Грина ≈ Кубо формулы) тесно связаны с ф-лой Эйнштейна для среднего квадрата смещения.
Теория Б. д. имеет принципиальное значение, она проясняет статистич. природу второго начала термодинамики и показывает границы его применимости. Она позволила уточнить критерии обратимости или необратимости молекулярных процессов и показать, что различие между ними но носит абс. характера. 11о Смолу-ховскому, процесс является необратимым, если переход из рассматриваемого состояния в исходное требуй большого времени, и обратимым, если время возврата невелико. Смплуховскому удалось оценить время возврата, к-рое относится к экспериментально наблюдаемому параметру, т. е. является характеристикой макросостояния, а не микросостояния.
Теория Б, д. находит приложение в физ. химии дисперсных систем, на ней основаны кинетич. теория коагуляции растворов (М. Смолуховский, 1Q16), теория седиментац. равновесия (равновесия дисперсных систем в поле тяготения или в поле центробежной силы}. В метрологии Б. д. рассматривают как осн. фактор, ограничивающий точность чувстьит. измерит, приборов, Предел точпости измерении оказывается достигнутым, когда флуктуащюнное (броуновское) смещение подвижных частей измерительного прибора по порядку величины совпад╦т со смещением, вызванным измеряемым
эффектом.
Лит.: Эйнштгйн А., Смолухоьсний М., Бро-уновское движение. Сб. ст., [ш?р. с >1ем. и франц.], М,≈ Л., 1936; Ч а и д р а с Р к а р С., Стохастические лроблемы в физике и астрономии, пер. с англ., М., 11)47; И о и х а р а А., Сгатистл-чеснан физика, пер. с англ., М., 1!Ш; X ир К., Статистическая механика, кинетическая теории и стохастические процессы, пер. с англ., М., 1976, гл. 10; Lax M., Fluctuations from the nonequilibrium steady state, «J^ev.s Mod. Phys.», i960, v. 32, p. 25; К i r k wo о d J. G,, The statistical mechanical theory of transport processes. I, «J. Chem. Phys.», 11)46, v. 14, p. 180; LebowitzJ. L., RubinE., Dynamical study of Brow-nian motion, «Phys. !R(w.»T 1963, v. 131, p. 2381; G г с о n M. S., Markoff random processes and tlie statistical mechanics of \\\mf-dependent phenomena. I≈IT, «J. Cliom. Phys,», 1952, v. 20, p. 1281; 1954, v, 22, p. 398. Д. li. Зубарев. БРУКСА ≈ ХЕРРИНГА ФОРМУЛА ≈ определяет врг-мя свободного пробега носителей заряда в полупроводниках в условиях, когда рассеяние носителей происходит преимущественно на ионизованных примесях (низкие томп-ры, высокие концентрации примесей). Б.≈ X. ф. имеет вид;
~ ш-'Л'Ф (л-) *
где т ≈ время свободного пробега носителя наряда с энергией Е\\ е ≈ заряд электрона, е ≈ дюлектрич.
")
}
