1tom - 0133.htm
с; О
LO
/-функция Больцмана для газа равна
Н= \ h (ж, t) due ≈∙ \\ \ / (v, а;, 0 In / (v, да, 0 cto rf»',
а)
где /(г, ж, ^) ≈ ф-ция распределения частиц по скоростям и координатам, удовлетворяющая кинетическому уравнению Больцмана, h('jr, t) ≈ пространственная плотность //-функции, имеющая смысл локально)! плотности энтропии с обратным знаком. Скорость изменения //-функции со временем равна
<ш
Согласно К. //-т., для изолнров. системы г^, что следует из равенства (2), если и него подставить df/Ot из кинетич. ур-ния Больцмана и симметрировать полученное выражение относительно ф-ций распределения сталкивающихся частиц при прямом и обратном соударении. В общем случае для вывода Б. //-т. нужно использовать детального равновесия принцип.
В пространственно- леоднородиыл огранич. системах необходимы граничные условия для ф-ции распределения па поверхности системы. В этом случае справедливо ур-нис баланса энтропии:
dh'dt- div$ =
224
где *S ≈ плотность потока энтропии, G ≈ локальное производство энтропии, с обратным знаком. Следовательно, Б. II-i. есть следствие положительности производства энтропии в неравновесной термодинамике, т. к. для ынолирон. системы суммарный поток лптропии через поверхность равен нулю. Б. Л-т. справедлива для всех форм кинетич. ур-пил Больцмана.
Против Б, .//-т. был выдвинут ряд возражений: 1) парадокс обратимости И . Лотммлдта (J , Luschmidt, 1876); 2) парадокс возврата Э. Цермело (Е. Zermolo, 1890). Лошмидт заметил, что каждому движению молекул газа с убыванием Н соответствует движение с увеличением //. Парадокс возврата основан на Пуанкаре теореме о возвратах. В ответ на яти возражения Больц-ман выдвинул статистич. толкование Б. //-т., поскольку она ни является следствием одних лишь yp-Hnii механики, а использует предположение о «молекулярном хаосе», имеющее вероятностный характер. Согласно Болз.ц-ману, иптропля, а следовательно и //-функция, есть мера вероятности пребывания системы в нсранновссном состоянии: убывание Н означает стремление системы к переходу из монсо вероятного и более вероятное состояние.
Более совр, вывод кипетич, ур-ния Больцмана позволяет лучше понять причину появления необратимости в ур-нии Больцмана, несмотря на то, что оно выводится из обратимых ур-иип механики. Необратимость (и убывание //-функции) связывается с отбором таких решений ур-ния Лиувнллл, к-рые соответствуют сокращ╦нному, неполному описанию неравновесного состояния системы с помощью одночаетичной ф-ции распределения и. заданию граничного условия для корре-ляц. ф-ций, имеющего вероятностный характер в отдал╦нном прошлом (принцип ослабления корреляций; см. Боголюбова уравнения].
Убывание Я-функции (рост энтропии) соответствует возрастанию хаоса в системе, что связано с неустойчивостью фазовых траекторий мн. механич, систем относительно изменения нач. условий: малые изменения нач. условий приводят к большим отклонениям фазовых траекторий (эффект перемешивания). Перемешивание приводит к стохастизации, в дшшмич. теории траектории становятся непредсказуемыми. Для макроскоиич. систем в обычных условиях этот эффект не наблюдается, т, к. макроскоиич. наблюдение подразумевает пек-рое сглаживание (определяется лишь небольшое число параметров системы, гораздо меньше, чем число механич. нач. условии).
Лит.,- 3 о м м е р ф е л ь д A-f Термодинамика и статисти-чсскям фи.'шка, пер. с нем., М., 1955, § 42; Ф е р ц и г о р Д ж., К а и с р Г., Математически JT теория процессов переноса в газах, инр. с англ., М., 1У7<), гл. 4; Б о г о л ю бос Н. Н., Илбр. труды но статистической физике, М., 1У79, с. 75; Л и ф-ш и н Е. М., П ч т а е и с к и и Л. П., Физическая кетшугика, М., 1Я79, гл. 1. Д. Я. Зубарев.
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН ≈ общий принцип, в силу K-poi'O совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Б. ч. а. проявляется, напр., в стабили-зашш частот случайных событии в длинном ряду испытаний, лежащей в основе определения вероятности. Как матем. утверждение Б. ч. з. формулируется и доказывается в вероятностей теории', его наиб, употребит. вариант утверждает, что при нек-рых весьма общих условиях ср. арифметич. Ya ≈ п~1 (Х1-\\- . ,. ~гХп} последовательности случайных величин Х^, Х2, . . . стремится но вероятности к определ. пост, числу я» т. е. Р ( | У└ ≈ а \\ > е) ≈ > 0 при любом е > 0 и п ≈ >∙ оэ. Для этого достаточно, напр., чтобы Xft были независимы, одинаково распределены и имели математическое ожидание МХ^^а (в ;»том случае имеет место и: более сильное утверждение ≈ т. н. усиленны и Б. ч. з.: Yn сходятся к а с вероятностью 1) или, в более общем случае, чтобы последовательность {Х!;} была стационарной в широком смысле, МХ-, ≈ а и
lim п^1!]^] г/ ≈ О, где г/ ≈ корреляции коэффициент.
п
да
Б. ч. з. тесно связан с
между f? ll fi + гипотезой*
Лит. см. при ст. Вероятностей теория. Я. Л. Боровков,
БОЛЬШОЕ КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ГЙББСА ≈ распределение вероятности состояний статистич. ансамбля систем, к-рыс находятся в тепловом и материальном равновесии со средой (термостатом и резервуаром частиц) и могут ибмениватьс.я с ними энергией и частицами при пост, объ╦ме У\\ соответствует большому каноняч. ансамблю Гиббса. Б. к. р. Г. уста-новлено Дж. Гиббсом (J. W. Gihbs) в 1901 как фундам. закол статистич. физикд! (см. Гиббса распределения], Равновесная ф-ция распределения /(р, q] зависит от кскзрдипат и импульсов лишь через ф-цшо Гамильтона Hft(p, q) системы N частиц;
f(p, q} = Z-izxv{≈(Hx(p, q)-^N]!kT},
где Т ≈ абс. темп-pa, ц ≈ - хим. потенциал, Z ≈ не зависящая от р, q величина, определяемая из условия нормировки:
Z- 2 ехр (≈pNjkT) ( ехр {≈ HN (р, у) Hi Т} dTN, N ^ о «J
где суммирование вед╦тся по всем целым положительным JV, а интегрирование ≈ по фазовому пространству всех частиц:
Т. о., Z ≈ ф-ция от |А, F, Т и выражается через отати-стич. интегралы для N частиц.
Г>. к. р. Г. можно вывести, если рассматривать совокупность данной системы вместе с термостатом и резервуаром частиц как одну большую, замкнутую и изолированную систему и применить к ней микроканоп-ичес-кое распределение Гиббса. Тогда малая подсистема описывается Б. к. р. Г., к-рое можно найти интегрированием ло фазовым переменным термостата и резервуара частиц и суммированием по числам частиц (теорема Гиббса) .
Н квантовой статистике статистич. ансамбль характеризуется распределением вероятности WIN квантовых состояний / с энергией Е^. соответствующих числу частиц Лг, с условием нормировки £г/7дг=1. Б. к. р. Г.
«, Л' для квантовых систем имеет
[EiN
")
}
