|
|
ш
э
о
О ш
темп-pa бозс-конденсации, или темп-pa вырождения, находится из условия [i≈ О, 7V0 ≈ 0, к-рое записывают в след, виде: N=VA.~3Gy/ (1). При Т^-0 все частицы на-
ходятся в конденсате, при Г<Г0 в конденсате находится лишь Na частиц, а остальные подчиняются распределению Бозс ≈ Эйнштейна с N,=0. При Т<Тп давление оказывается ф-цией только темп-ры P/kT≈A~'AG^^ (1)
и не зависит от объ╦ма, т. к. частицы конденсата, не обладая импульсом, не дают вклада в давление. При Т=Т(} производная тепло╦мкости исиытывает конечный скачок, а сама тепло╦мкость, энергия и давление остаются непрерывными, следовательно система совершает своеобразный фазовый переход,
Для жидкого 4Нс в модели идеального газа темп-ра вырождения Г0 ≈ 3,13 К близка темп-ре перехода в сверхтекучее состояние, равной 2,18 К, но это не означает, что переход в сверхтекучее состояние есть Б. ≈ Э. к. идеального газа, т. к, для явления сверхтекучести существенно изаимодействие между атомами. В неидеальном бозе-газе явление Б. ≈ Э. к. сохраняется, а неидеальность приводит к появлению частиц с ненулевым импульсом даже при Т=0, в слабонеидеальном бозс-газс малой плотности
при 7Va3/y«l, где а ≈ длина рассеяния для потенциала взаимодействия. Если плотность не мала, то число частиц в конденсате можно оценить вариационным методом. Для бозе-жидкоети со взаимодействием молекул как тв╦рдых сфер диаметра Ь
JVD = 7V ехр [≈ 1 ≈ 4JIJW/3F].
Для 4Не Ь^2,56.10-& см, F/7V = 4C,2.4()-24 см3, поэтому yV,,/jV~0.08. По оценкам, основанным ыа рассеянии нейтронов, плотность конденсата в 4Не -~ неск. % и обладает примерно такой же температурной зависимостью, как и плотность сверхтекучей компоненты. Однако плотность частиц конденсата и плотность снерхтеку-чей компоненты нельзя отождествить, т. к. при Т = 0 К вся жидкость является сверхтекучей, хотя не все е╦
∙частицы находятся в конденсате.
Б. ≈ Э, к, приводит К квантовой когерентности волн де Бройля на макроскопич. масштабах. Конденсат описывается волновой ф-цией, когерентной во вс╦м объ╦ме. При Б. ≈ Э. к. происходит спонтанное нарушение симметрии, связанной с инвариантностью гамильтониана системы относительно калибровочных преобразований; состояние с конечной шттностмо конденсата не является калибровочно инвариантным.
Сверхпроводимость можно рассматривать как следствие В. ≈ Э. к. коррелированных кудеровских иар элек-
∙тронов с противоположно направленными импульсами и спинами.
Лит.: ЭЙнштойн А., Собр. научных трудои, г. 3, ╧., 19(JB; London F., On tine Hose ≈ Einstein condensation,
∙«Pliys. Rev.», 1938, v. 54, p. 947. См. также лит, при ст. Статистическая фияика. Д. Н. Зубарев.
БОЗЕ≈ ЭЙНШТЕЙНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ≈ функция распределения по уровням энергии тождеств, частиц
∙с нулевым или целочисл. спином при условии, что взаимодействие частиц слабое и им можно пренебречь, т, е, ф-ция распределения идеального квантового газа, подчиняющегося Бозе ≈ Эйнштейна статистике.
В случае статистич. равновесия ср. число щ таких
∙частиц в состоянии с энергией £/ при темп-ре Т выше вырождения температуры, определяется Б. ≈ Э, р.
Эйнштейна конденсацию, при к-рой часть частиц скапливается в состоянии с нулевым импульсом, а остальные частицы распределены согласно Б.≈ Э. р. с ^=0,
Ц. II. Зубарев.
БОЗЕ≈ ЭППШТ╗ЙНА СТАТИСТИКА (бозе статисти-ка} ≈ квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с нулсиым или целым спином (в единицах п). Предложена в 1924 Ш. Бозс (Sh. Bose) для фотонов и в том же году развита А. Эйнштейном (A, Einstein) применительно к молекулам идеального газа. Характерная особенность Б. ≈ Э. с. заключается в том, что в одном и том же квантовом состоянии может находиться любое число частиц. В. Паули (W. Pauli) доказал (Лаули теорема], что тип квантовой статистики однозначно связан со значением спина частиц, так что совокупности частиц с нулевым или целым спином (ядра с ч╦тным числом нуклонов, фотоны, я-мезоны и др. ≈ т. и, бозоны) подчиняются Б. ≈ Э. с., а системы частиц с полуцелым спином (электроны, нуклоны, ядра с неч╦тным числом нуклонов и др. ≈ т. н. ф е р-м и о н ы) подчиняются Ферми ≈ Дирака статистике.
При квантовомохапич. описании состояние системы определяется волновой функцией, к-рая в случае тождественных частиц либо симметрична по отношению к перестановкам любой пары частиц {для частиц с целым спином), либо антисимметрична (для частиц с полуцс-лым спином). Для системы частиц, подчиняющихся Б, ≈ Э. с., состояния описываются симметричными функциями, что является другой эквивалентной формулировкой Б. ≈ Э. с. Подобные системы наз. бозс-систе-мами, напр, бозе-газ.
Для идеального бозо-газа в случае статистич. равновесия (при темп- ре КЬПИО вырождения температуры]
ср. число частиц щ в состоянии i определяется Бозе ≈ Эйнштейна распределением
где 8; ≈ энергия частицы в состоянии i (для частиц с импульсом р и массой т, равная р2/2т), Т ≈ абс. темп-pa, п, ≈ химический, потенциал, определяемый из след, условия: сумма всех «,- должна быть равна полному числу частиц в системе. Хим. потенциал бозе-газа fi не может быть положительным, иначе ф-ция распределения частиц по энергиям была бы для нек-рых состоянии i отрицательной, что невозможно но самому опре-
делению п,'. Для систем с переменным числом частиц
ц≈ 0. При ехр( ≈ [л/А7')>1, когда все п/ малы, распределение Бозе ≈ Эйнштейна переходит в Больцмана
распределение л/≈ охр [(ц. ≈ £/)/АГ]. При низких темп-pax (ниже темп-ры вырождения бозе-газа) часть частиц переходит в состояние с нулевым импульсом и наступает Бозе ≈ Эйнштейна конденсация,
Ф-ла для и/ следует из Гиббса распределения для идеального кнантового газа с уровнями энергии £п ≈
inii ГДЭ nh согласно Б. ≈ Э. с., могут нрини-
[ехр((81≈
-i
220
где i ≈ набор квантовых чисел, характеризующих состояние частицы, ц, ≈ хим. потенциал.
Б,≈ Э, р. соответствует максимуму статистического веса (или энтропии) с уч╦том неразличимости частиц, отвечающей требованиям бозе-статистики. При темп-ре ниже темп-ры вырождения бозе-газ испытывает Бозе ≈
мать лишь значения О, 1, 2, ... .
Распределение Бозо ≈ Эйнштейна можно получить и др. методом, если рассматривать статистически равновесное состояние квантового газа как наиболее вероятное состояние и с помощью комбинаторики, учитывая неразличимость частиц, найти термодинамическую вероятность (статистический вес] такого состояния, т. е. число способов реализации данного состояния газа и заданной энергией £ и числом частиц N. Для больших систем, когда N велико, уровни энергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному распределению при стремлении числа частиц и объ╦ма системы к бесконечности. Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим G,- уровней в ячейке, число G,- предполагается очень большим. Каждой i-ii ячейке соответствует средняя энергия £/ и число частиц Nf, Состояние системы определяется набором чисел TV/, где JV/ ≈ сумма n-L по уровням ячейки. Для Б. ≈ Э. с.
")
}
