1tom - 0119.htm
205
весия ≈ седло S и центры Сг и Cz (рис. 5, б). При этом возможно существование устойчивых несимметрич. движений в полностью симметрии, системе.
За локальными Б. можно проследить, наблюдая развитие малых возмущений в системе, к-рые описываются линеаризованными ур-ниями. В динамич. системе
Рис. 5. Рождение из одного состояния равновесии тр╦х при малом изменении параметра (формы ж╦лоба): а ≈ форма ж╦лоба и соответствующий фановый портрет с одним ∙состстнийм равновесия типа центр; О ≈ форма ж╦лоба с диумя минимумами и соответствующий фазовый портрет с тремя состояниями равновесия: седло S и два центра С, и С».
х≈ Х(х, ц) [х ≈ вектор физ. переменных, |л ≈ параметр, а я (ц) ≈ состояние равновесия) малые возмущения | описываются ур-иием \≈А (ц)?, где А (ц)^= =(Щ,гп(ц), ц]/дх. Если корни К└ характеристич. ур-лия dut [А (ц)≈А,£|^0 (где Я ≈ единичная матрица)
не лежат на мнимой оси комплексной плоскости (рис. 6), то в окрестности состояния равновесия при малых сдвигах параметров Б. не происходит. Она осуществляется, лишь когда при ц, равном критич, значению р,*, один или неск. корней попадает Рис. е. Комплексная плоскость на мнимую ось комплексной «изображением Лд (точки), плоскости. Всем Б. исчезновения или рождения со-
отояний равновесия соответствует прохождение одного или неск. корней через ноль. Одна из подобных возможностей представлена на рис. 7, где изображено рождение состояний равновесия типа седла S и узла N, Такая Б. встречается, напр., р задаче о конкуренции
меньших (больших) критического ц.* и достаточно близких к нему, существует периодич. решение, к-рос при fi-*-fA* стремится к статическому XQ(\\JL). Устойчивость предельного цикла определяется устойчивостью состояния равновесия при ц≈ ц*. Эту Б. наз, Б. А н д-ронова ≈ Хопфа.
ReX
Рис. 7. Рождение двух состояний равновесия ≈ седла S иу^и JV; а≈фаяопыйпортрет до бифуркации: б ≈ фазовый портрет после бифуркации.
1/V
Г
видов с численностями xlt ж2, питающимися из одного источника (рыс. 8). Соответствующие кинетич. ур-ния, описывающие изменения числснностой, ≈ это:
При PJ, рх>1 в системе возможна «победа» в борьбе за существование любого из видов. При уменьшении же одного из параметров рь р2 до значения, меньшего 1, при произвольных нач. условиях будет выживать лишь вполне определ. вид (рис. 8, 6). Аналогии, ур-ниями описывается конкуренция типов колебаний (мод) в лазерах, структур разных типов, возникающих в жидкости при тепловой конвекции, и т. д.
Рис. 8. Фазовые портреты кинетических уравнений: п. ≈ прир, <1тр,>1; О ≈ при Pl, ря>1.
Ьогда два корня характеристич. ур-ния становятся чисти мнимыми, тогда из состояния равновесия рождается или в н╦м умирает предельный цикл (табл. 1, строка 4). Это означает, что для всех значений параметра ц,
14*
Бифуркации рождения пориодич. движения. В табл. 1 приведены основные Б. рождения (если фазовые портреты просматривать слева направо) или исчезновения (если справа налево) пе-риодич. движений. Они разбиты на 3 группы. Если говорить об исчезновении периодич. движений, то к 1-й группе (первые 2 строки) относятся такие Б., при к-рых период периодич. движения Г-^оо (или частота о>-*-0) при |А≈р<*-Ю, а амплитуда колебаний около ср. значения к нулю не стремится. В автоколебат. системах примером такой Б. янляется возникновение модуляции при действии периодич. силы на автогенератор, Предельный цикл ≈ образ модулир. колебаний ≈ при этом рождается из петли сепаратрисы седло ≈ узел при слиянии и исчезновении двух состояний равновесия: седла и узла (табл. 1, строка 1). Знание подобной Б. позволяет определить свойства нового режима, воа-никшего после перехода через критич. точку, ≈ возникшая модуляция будет характеризоваться конечной амплитудой и близкой к нулю частотой модуляции.
Ко 2-й группе относится Б. исчезновения устойчивого периодич. движения в момент его слияния с неустойчивым периодич. движением (табл. 1, строка 3) ≈ т. п. касательная Б, Такая Б. для автогенератора с ж╦стким возбуждением изображена на рис. 9 с помощью графика отображения Пуанкаре (см. Динамическая система). Рис. 9, а соответствует состоянию системы, в к-ром устойчивые колебания отсутствуют ≈ предельных циклов нет. Рис. 9, 6 соответствует моменту Б,: график функциональной зависимости хп+1 от хп касается биссектрисы первого квадранта ≈ происходит рождение двух периодич. движений ≈ устойчивого 1 и неустойчивого 2 (риг. 9, в).
а
∙YT
Рис. 9. График отображения Пуанкаре секущей * = о для авто-гпнерктора с ж╦стким возбуждением; а ~ устойчивые колебания отсутствуют ≈ предельных циклоп нот; 6 ≈ момент бифуркации ≈ график функции касается биссектрисы; е ≈ устойчивое 1 и неустойчивое 2 движения.
Б. 3-й группы встречаются, как правило, в системах, зависящих от двух и более параметров (табл. 1, строка 5). ^
Бифуркации смены устойчивости п е р и о д и ч. д в и ж е н и и. Важной характеристикой Б, смены устойчивости периодич. движений (табл. 2) являются значения мультипликаторов в критич. момент, к-рые представляют собой коэф. усиления (затухания) малых возмущений на фоне рассматривав'
^^^
X
в
211
")
}
