1tom - 0118.htm
.204
имеют вид скручивающихся спиралей, а при большом≈ парабол (рис. 2). Эти кажущиеся, на первый взгляд, различными фазовые портреты введением новой системы координат можно свести один х к другому, т. е. переход от фазового портрета рис. 2, а к рис. 2, б не представляет собой Б., поскольку Б.≈ это переход от данной системы к топологически неэквивалентной.
Среди рвал, Б. при анализе моделей физ. систем Рис. 4. п ≈ схема движения к
шарика после бифуркации; б- особенно интересны т.н. фазовый портрет. локальные. Это Б.,
при к-рых происходит перестройка отд. движений дийамич. системы. Простейшими и наиб, важными из них являются Б. состояний равновесия и периодич. движений.
Т а б л 1. ≈Рождение периодических движений
Бифуркации состояний равнове» сия. Осн. Б. состояний равновесия: 1} слияние и последующее исчезновение двух состояний равновесия. Примером может служить движение шарика в потенциальной яме с «полочкой» (рис. 3). При сглаживании полочки BD состояния ранновесия седло S и центр С% сливаются и исчезают (рис. 4).
2) Рождение предельного цикла из состояния равновесия. Пример такой Б.≈ переход простейшего лампового генератора при соответствующем изменении ул-равляющсго напряжения от режима статич. колебаний к автоколебат. режиму (см. Автоколебания], В этом
случае на фазовой плоскости (х, х) из устойчивого фокуса в начале координат при коэф. затухания о^О рождается предельный цикл (табл. 1, строка 4), амплитуда к-рого при малых а порядок к ее, a фокус становится неустойчивым.
3) Рождение из одного равновесного состояния тр╦х состояний равновесия (спонтанное нарушение симметрии). Напр., изменению движения шарика в желоби при появлении на дне ж╦лоба бугорка соответствует Б., при к-рой из вырожденного состояния равновесия типа центр (рис. 5, а) возникают три состояния равно-
Характ╦р возникновения периодических движений (автоколебаний)
Фазовый портрет-до бифуркации
Б момент бифуркации
После бифуркации
Модель
Комментарии
1. Ж╦сткое по амплитуде и мягкое но частоте
у о
Ур-ния длн амплитуд генератора Бан дер Поля, находящегося под действием перио-дич. силы
«=л [1≈ (а2
≈ расстройка час тоты)
В исходных (нсусредн╦н-ных> ур-пинх
х≈ ц (1≈ х3) х + х = А 8(п6,
0'=(i> этой бифуркации соответствует рождение тора, что в эксперименте отвечает переходу неавтономного осциллятора и^ режима синхронизации и решил биений
Ур-ние Ван дер Поля Дюффинга
∙ч- »
t* ^~ 13 i Л ≈≈. 'V * i I' I *v ^^_ v1^'≈ JX^l Л^Лп^л ^≈
Для стационарных волн п неравновеспых Средах такой Б. соотЫ'тетвует переход от квазигармонич. волны ксолитону и затем ≈ ннмидальнои волне
3. Ж╦сткое и по амплитуде и по частоте
Ур-ние автогенератора с ж╦стким возбуждением
Одна из наиб, типичных бифуркаций рождении или исчезновения периодич. движений
4, Мягкое по амплитуде и ж╦сткое по частоте
Ур-ние Ван дер Поля х ≈ (а ≈ х2) x+x=Q
Бифуркация Андронива ≈ Хонфа встречается в енмых разл. областях физики
5. Мягкое по амплитуде и мягкое по частоте
210
Такая бифуркации осуществляется при варьировании двух или боле;е параметров. Встречается в ур-ниях гидродинамики
")
}
