|
|
Ш
О
и
X
о
п
а О
тяжений имеет вид X = ахд/дх -{- fit d/dt -\\-yud /ди, а, Y ≈ числа. Набор первых интегралов ур-ния Хф = 0
таков: #1=£/fa'^, ys = u/t^$t поэтому автомодельное решение ур-ний, допускающих группу растяжений,
будет иметь вид w ≈ fl^ty (x/ta^)t хреновая искомая ф-ция .
Рассмотрим, напр., Кортевега ≈ де Фриса уравнение du'dt -f- и dujdx-\\- ц д'ли/дхя ≈ 0, где [г ≈ пост, параметр; оно инвариантно относительно преобразования t ≈ *∙ ktt
х ≈*k'f*x, и ≈ » k~ ''ц. Генератор X =x d/##-|-3/ djdt ≈ ≈ 2ид/0и ≈ оператор растяжений, и автомодельное ре-
шение имеет вид
где е ≈ заряд частицы. Из (1) видно, что с ростом энергии частицы период обращения увеличивается. Обозначим через ф0 «равновесную фазу» ≈ фазу поля (отсчитываемую от его макс, значения; рис, 1} в ускоряющем зазоре, попадая в к-рую частица набирает такую энергию е 7ncos rp0 (1/0 ≈ ускоряющее напряжение), чтобы непрерывно двигаться в резонанс
Подставляя что решение в исходное ур-ние, получаем обыкновенное дифференц. ур-ние для ф-цин \\|э (г);
- -2М ^ 0 .
20
Одноиарамстрич. группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на др. одно-парамотрич. а беловых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, т. е. решениями вида u ≈ f (х ≈ hi -f-я), для к-рых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена х = = In |, г=^1пт, a=\\nb переводит волновое решение / в автомодельное;
/[In (E,/btty] = F (^jbtty.
А., отражающая внутр. симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении раал. физ. задач, особенно в механике сплошных сред (см. Автомодельное течение].
Метод репормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных ур-ние ренормгрушгы оказывается тождественным одномерному ур-нию переноса излучения. В физике элементарных частиц А. выражается в том, что сечения нек-рых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик.
Лит.: Седов Л. И., Методы подобии и размерности я механике, 9 изд., М., 1981; Боголюбов Н. Н., Ш и р-к и Б Д. В-, Введение в теорию квантооанных долей, 4 изд., М., 1084; Б и р к г о ф Г., Гидродинамика, пер. с англ., М.( l!)t;3; Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М,, 1978, гл. 1; Б а р с н б л а т т Г. и., Подобие, авто-аюдельность, промежуточная асимптотика, 2 изд., Л,, 1Я82.
АВТОРЕЗОНАНСНОЕ УСКОРЕНИЕ ≈ см. К^л^ек-тивтше методы ускорения.
АВТОУСКОРЕНИЕ ≈ см. Коллективные методы ускорения.
АВТОФАЗИРбВКА (фазовая устойчивость) ≈ явление устойчивости движения частиц в продольном {вдоль орбиты) направлении в резонансных ускорителях, обусловленное зависимостью промежутка времени Т между последующими ускорениями от полной энергии 8 частицы. Открыто в 1944≈45 Б. И. Векелером и независимо от него Э. М. Макмилланом (Е. М, McMil-lan). Лежит в основе действия большинства совр. резонансных ускорителей заряж. частиц.
В простейшем случае циклич, ускорителя с однородным магн, нолем период обращения Т связан со значением магн. индукции В на круговой орбите и полной релятивистской энергией частицы ╦ соотношением
Т =
Рис. 1.
с ускоряющим полем. Период обращения Т этой частицы равен или кратен периоду ускоряющего ноля ^ycKi ^"tf^ycio ГДО Ч ≈ целое число, наз. кратностью ускорения. Очевидно, фаза ≈ср0 будет также равновесной, т. к. в этой фазе частица набирает точно такую же энергию, как и в фазе фп. Если частица попад╦т в фазу Ф1>Ф()' она наберет энергию eVt)cos <pit меньшую eVfiCos фд, прирост е╦ энергии будет меньше равновесного значения, а следовательно, согласно (1), и период станет меньше равновесного. Поэтому при следующем обороте частица прид╦т к ускоряющему промежутку раньше, т. е. е╦ фаза приблизится к равновесной. Напротив, немного отставшая частица (Ф2<! <Фп) приобрет╦т избыточную энергию (т. к. eVac,QS Ф2> >еУ0со8 ф0), е╦ период обращения станет больше равновесного, вследствие чего на следующем обороте она позже прид╦т к ускоряющему зазору и е╦ фаза тоже приблизится к равновесной.
Малые отклонения энергии частицы от равновесной ташке имеют тенденцию уменьшаться. Действительно, если частица находится в равновесной фазе ф^, но е╦ энергия больше равновесной (соответствующей периоду ускоряющего поля Т^ск), то е╦ период обращения больше ?Гуск и она приходит на след, обороте к зазору с опозданием, т. е. е╦ фаза ф'>ср0. а приобретаемая энергия eV0co& ф'<еУ0соз ф└, Т. о., отличие энергии от равновесной будет уменьшаться.
Благодаря описанному механизму частицы, находящиеся в нек-рой окрестности равновесной фазы ф0 (т, н. область захвата), совершают колебания около этой фазы, т, е. фаза ф0 динамически устойчива. Все частицы, находящиеся в области захвата, колеблясь около фазы ф0, набирают в ср. такую же энергию, как и частица в равновесной фазе (т. н. равновесная частица), т. е. ускоряются,
Аналогично можно показать, что вторая равновесная фаза ≈ф0 неустойчива: малые отклонения от не╦ приводят к дальнейшему уходу частиц от этой фазы.
В общем случае для циклич. ускорителей с магн. полем, зависящим от азимута и радиуса, ф-лу (1) следует заменить на соотношение
7- = -"~Л
где В) ≈ нек-рое усредн╦нное по орбите значение магн. индукции, зависящее от энергии частицы; поэтому характер зависимости Т от 8 оказывается более сложным. Если d7Yd£>0, т, е. период растет с ростом энергии, то, как и раньше, оказывается устойчивой равновесная фаза ф0, вблизи к-рой ускоряющее элоктрич, поле убывает с увеличением времени. Если же дГ/д<?<0, т. е. период обращения убывает со временем, то устойчива фаза ≈ф0, вблизи к-рой ускоряющее поле нарастает со временем.
Для более точного описания изменения фазы следует количественно рассмотреть динамику частицы, энергия к-рой мало отличается от энергии равновесной частицы, движущейся в точном синхронизме с уско-
")
}
