|
|
Г)
О
о.
С
и
Соответствующее ему А. р, ость Л. р. в смысле Пуанкаре,
Асимитотич. ряды, как правило, расходятся, том но менее их практич. ценность очень нолика, т. к. каждая
11 i
частичная сумма рнда S^Q/n-r4 да╦т приближ╦нное ны-
ражение для f(x) с погрешностью, убывающей с уменьшением х тем быстрее, чем больше N, Однако, в отличие от сходящихся рядов, расходящиеся асимптотик, ряды могут обеспечить лишь ыек-рую конечную точность приближения, зависящую от величины N. В киантовой теории поля, напр., асимптотич. ряд перенормпрован-ной теории возмущений по константе взаимодействия, точнее по ее квадрату ctt как правило, имеет факто-риально растущие коэфф., т. и. рнд имеет вид
ОС
а. 'а
"
где сп ≈ нск-рое медленно меняющееся по сравнению с п\\ число, «п^О зависит от представляемой рядом величины. В частности, в кнантоиой электродинамике, где a≈ V137, несмотря на расходимость ряда (4), его частичные суммы, вплоть до N= 137, обеспечивают точность приближения, к- рая практически может счи-татья абсолютной.
Др. пример аснмптотнч. степенного рнда ≈ А. р. интеграла
- t»
(5) где KI} ∙≈ модифицир. ф-ци>1 Бесселя III рода, или
14
ф-ция Макдона:1ьда (см. Цилиндрические функции), Степенное А. р. может быть получено разложением экс-лоненты в подынтегральном выражении (5) в ряд Макло-репа по х и последующим почленным интегрированием:
а», (6)
где Г ≈ гамма ф-ция Эйлера (см. Эйлера интегралы,}. Ряд (6) имеет нулевой радиус сходимости, т. е. он расходится при всех значениях т, однако несколько первых его членов дают удовлетворит, описание поведения ф-дии в окрестности точки х≈0. А, р, типа (6) характерны для большого числа задач квантовой механики, квантовой статистики и квантовой теории поля [2]. Это связано с представлением амплитуд перехода между разл. состояниями системы с помощью функционального интеграла. Так, амплитуда перехода из вакуума в вакуум в модели с взаимодействием #ф*(оз) (где <р(х) ≈ нек-рос скалярное поле, g ≈ константа взаимодействия) в евклидовой квантовой теории поля Записывается в виде, аналогичном интегралу (5):
Т (╦) = f 6Ф (ар) ехр { - f dJC [4- (V<P (а?)}8 -\\r J "∙ J L "
Асимптотич. ряды можно складывать, перемножать, делить и интегрировать точно так же, как сходящиеся степенные ряды, прич╦м в результате получаются новые асимптотич. ряды. Дифференцирование асимптотич. ряда возможно только в случае, если f(x) имеет непрерывную производную, к-рая также разлагается в асимптотич. степенной ряд; тогда
А. р. (1) может быть определено и для ф-ции комплексного аргумента z в окрестности точки za, нанр. в области D: (\\z\\<A, р1<|агдг|<р2), при z0^-0.
Ф-ция не может быть представлена более чем одним
А, р. в данной области значений аргумента, однако
данному А. р. может соответствовать нсск. разл.
ф-ций. Однозначное восстановление ф-ции по е╦ А. р.
, может быть осуществлено в ряде случаев, если известны
120 аналитич. свойства искомой ф-ции. Именно такие за-
дачи возникают вфиз. приложениях, напр. в квантово-моханич. и квантовогшлевой теории возмущений.
Проблема суммирования асимптотич. рядов в квантовой теории приобрела актуальность во 2-й пол. 70-х гг. после разработки способа получения асимптотич. оценок fn для коэффициентов стеленных разложений /└ теории возмущений, таких, что/└//└ = 1≈О(п~1}. Одним из распростран╦нных при╦мов суммирования в случае знакопеременных коэф.. является метод, в к-рои предполагается, что сумма обладает аналитич. свойствами, соответствующими Лапласа преобразованию по переменной 1/#, а также правомерность перестановки операций суммирования и интегрирования (метод Ьорс-ля). Другим распростран╦нным приемом суммирования асимптотич. рядов является аналогичное использование преобразования Зоммерфелъда ≈ Ватсона (см. [3]). В реальных квантовополевых задачах, в отличие от кван-товомсханичоскил, аналитич. свойства суммы, как правило, неизвестны, вследствие чего использование того или иного конкретного способа суммирования обычно имеет статус правдоподобной гипотезы.
Понятия «А. р.» и «асимнтотич. ряд» введены А. Пуанкаре в 1886 в связи с задачами небесной механики. Однако частные случаи А. р. были открыты и применялись ещ╦ в 18 в, А. р. и асимптотич. ряды играют большую роль в разл. задачах математики, механики и физики. Это вызвано тем, что мн, задачи нельзя решить точно, но удается получить А. р. решения.
Л-ит.: П У и т т е к е р Э. Т., В а т с о н Д ж, Н., Курс современного анализа, игр, с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1962, гл. 8;
2) D i n g I e R, В., Asymptotic expansions, L.≈N, Y,, 1973;
3) К а з a it о в Д, И., Ш и р к о в Д, В., Суммирование асимптотических рядов и квантовой теории поля, Дубна. 1U80: К а г a k о v D. I., S h i r k о v D. Л7"., Asymptotic serifs of quantum field theory and their summation, «Fortsehr. Phys.», lf>80, Bd 28, S. /ifiS, Д, И, Казаков, Д, В. Ширков.
АСПЕРОМАГНЕТЙЗМ ≈ магнитное состояние аморфного магнстлка, в к-ром неупорядоченно локализованные магнитные моменты имеют преимущественную ориентацию {ниже определ╦нной темп-ры упорядочения}. Вещества в таком состоянии обладает спонтанной намагниченностью (подробнее см. Аморфные магн-етикп, Сперомагнетизм].
АСТАТ (Astatmin), At,≈ радиоакт, хим. элемент VII группы перкодпч. системы элементов, ат. номер 85. Наиболее долгояшвущие изотопы 2l°At (Ti; =8,1ч) и
2llAt (TV ≈7,21 ч). Общее содержание А. в слое земной коры толщиной 1.6км оценивается в 69 мг. Электронная конфигурация внеш. оболочек 5/10 6.?а рь. Энергия ионизации 9,2 эВ. Радиус атома 0,144 нм, радиус иона At~≈0,232 нм. Значение плектроотрицательно-сти 2,3.
В весовых кол-вах А. не выделен; опыты с микроколичествами этого элемента показали, что А. проявляет, с одной стороны, свойства неметалла и сходен с иодом, с другой ≈ свойства металла и сходен с полонием и висмутом. По оценке, гпл≈2А^ °С, £Кип^309 °С, В хим. соединениях А. может проявлять степени окисления ≈ 1, -j-1, Н~5 и, возможно, +7.
Лит.: Лаврухина А. К., Поздняков А. А., Аналитическая химия технеция, прометюг, астатина и франция, М., 1966* С. С. Бердоиосов.
АСТЕРИЗМ {от греч. ast^r ≈ звезда) ≈-размытие н огг-рсдел. направлениях дифракц. пятен на лауэграммах. Вследствие А. на лауэграммах появляются штрихи, или «хвосты», разл. длины, расходящиеся от центра, что придает дифракц, картине знездообразный вид. А.≈ следствие деформации кристалла, в процессе к-рой он разбивается па фрагменты размером 1 ≈ 0,1 мкм, слегка пов╦рнутые относительно друг друга вокруг нек-рых определ. кристаллография, направлений. С увеличением деформаций «хвосты» удлиняются, но их направлению и величине растяжения можно судить о кол-ве, форме и размерах фрагментов и исследовать характер деформаций (см. Рентгенография материалов).
")
}
